Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 3 Hệ thức lượng trong tam giác

CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1. Một số kiến thức cơ bản 1.1. Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Định lý1 : Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền Định lý 2 : Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền Định lý 3 : Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng Định lý 4 : Trong một tam giác vuông, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông 1.2.Tỉ số lượng giác của góc nhọn + Định nghĩa : Xét một góc nhọn  trong một tam giác vuông :

Sin  =

𝑐ạ𝑛ℎ đố𝑖 𝑐ạ𝑛ℎ ℎ𝑢𝑦ề𝑛 , cos  = canhhuyen

ke canh , tg  =

𝑐ạ𝑛ℎ đố𝑖

𝑐ạ𝑛ℎ 𝑘ề , cotg  =

𝑐ạ𝑛ℎ 𝑘ề 𝑐ạ𝑛ℎ đố𝑖

Nhận xét : 0 < sin < 1 , 0 < cos < 1, tg  và cotg  là hai giá trị nghịch đảo của nhau . Ta có tg.cotg = 1 + Tỉ số lượng giác của hai góc nhọn phụ nhau : Định lý : Nếu hai góc nhọn phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotg góc kia Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt :

300 450 600

sin  1 2

2 2

3 2

cos  3 2

2 2

1 2

tg  3 3

1 3

cotg  3 1 3 3

+ Các công thức lượng giác đơn giản :

sin2  + cos2 = 1 , tg  .cotg = 1 , tg  =

𝑠𝑖𝑛∝ 𝑐𝑜𝑠∝ , cotg  =

𝑐𝑜𝑠∝ 𝑠𝑖𝑛∝

1 + tg2  =

1 𝑐𝑜𝑠2 ∝ , 1 + cotg2  =

1 𝑠𝑖𝑛2 ∝

DeThi.edu.vn

+ Nhận xét : Khi góc  tăng từ 00 đến 900 thì sin và tg tăng còn cos và cotg giảm

Với hai góc nhọn ,  thì : ∝ < 𝛽 𝑡ℎì 𝑠𝑖𝑛𝛼 < 𝑠𝑖𝑛𝛽

∝ < 𝛽 𝑡ℎì 𝑡𝑔𝛼 < 𝑡𝑔𝛽 và

∝ < 𝛽 𝑡ℎì 𝑐𝑜𝑠𝛼> 𝑐𝑜𝑠𝛽 ∝ < 𝛽 𝑡ℎì 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼> 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛽 + Tìm tỉ số lượng giác và góc bằng máy tính bỏ túi casio fx -570 1.3. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác : Định lý : Trong một tam giác vuông, mổi cạnh góc vuông bằng :

- Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cosin góc kề - Cạnh góc vuông kia nhân với tg góc đối hoặc nhân với cotg góc kề 2. Một số dạng toán thường gặp +) Tính độ dài, góc, diện tích, chu vi +) Chứng minh đẳng thức +) Chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất 2.1. Ví dụ Ví dụ 1: Cho DEF  biết 6 DE  cm, 8 DF  cm, 10 EF  cm.

a) Chứng minh DEF  vuông. b) Vẽ đường cao DK . Hãy tính DK , EK . c) Giải tam giác vuông EDK d) Vẽ phân giác trong DM của DEF  . Tính độ dài các đoạn thẳng ME , MF . e) Tínhsin F trong các tam giác vuông DFK  , DEF  . Từ đó suy ra . . ED DF DK EF  .

Lời giải

a) Vì 2 2 2 10 6 8   hay 2 2 2 EF DE DF   DEF  vuôngtại D (địnhlíPytagođảo) b) Xét DEF  vuôngtại D có DK làđườngcao: + . . DK EF DE DF  (hệthứclượng) Thaysố: .10 6.8 DK 

4,8 DK   (cm)

DeThi.edu.vn

+ 2 . FK EF DF 

Thaysố: 2 .10 8 6,4 FK FK    (cm)

c) Giải tam giácvuông EDK :

10 6,4 3,6 KE EF KF      (cm)

µ µ 4,8 sin 53 48' 6

o DK E E DE    

· 90 53 48' 36 52' o o o EDK    d) Xét DEF  có DM làđườngphângiác EM DE MF DF   (tínhchấtđườngphângiác)

6 3 8 4 EM MF   

10 3 4 3 4 7 7 EM MF EM MF EF        (Ápdụngtínhchấtdãytỉsốbằngnhau)

30

7 EM   (cm), 40

7 MF  (cm)

e) Xét tam giácvuông DEF cósin DE F EF 

Xét tam giácvuông DFK cósin DK F DF 

DE DK EF DF  

. . ED DF DK EF  

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD và điểm E tùy ý trên cạnh BC . Tia Ax vuông góc với AE của tam giác AEF và kéo dài cắt cạnhCD tại K .

a) Chứng minh AE AF  b) Chứng minh AKF CAF   và 2 . AF KF CF 

c) Cho 4 AB  cm, 3 4 BE  cm. Tính AEF S .

d) AE kéo dài cắtCD tại I . Chứng minh 2 2 1 1 AE AI  không phụ thuộc vào vị trí điểm E .

Lời giải

DeThi.edu.vn