Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 4 Phương trình bậc 2 và ứng dụng của hệ thức vi-ét

CHUYÊN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 1.1.Lý thuyết cơ bản 1.1.1. Định nghĩa:

Phương trình bậc 2 một ẩn là phương trình có dạng:

2 0    ax bx c trong đó x là ẩn, a, b, c

là các hệ số cho trước và a ≠ 0. 1.1.2. Giải phương trình bậc 2. Phương trình bậc 2 khuyết: - Với c = 0 phương trình có dạng:

  2

0 0 0

        



x ax bx x ax c c x a

(a ≠ 0).

- Với b = 0 phương trình có dạng:

 2 2 0 *    c ax c x a Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

0 0 0

      

c c

ac a (a và c trái dấu)

Với điều kiện trên ta có:  *  c x a Giải phương trình bậc hai một ẩn đầy đủ bằng công thức nghiệm.

Phương trình bậc 2 một ẩn:    2 0 0 1     ax bx c a

Xét biệt số: +) Nếu phương trình (1) vô nghiệm.

+) Nếu phương trình (1) có nghiệm kép:

+) Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Trường hợp: ta có: . Khi đó: +) Nếu phương trình (1) vô nghiệm.

+) Nếu phương trình (1) có nghiệm kép:

+) Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Trường hợp đặc biệt có thể nhẩm nhanh nghiệm:

Phương trình bậc 2 một ẩn:   2 0 0     ax bx c a

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm 1 2 1; .  c x x a

2 4 b ac   0 

0  1 2 2

b x x a  

0  1 2 ; . 2 2 b b x x a a      

2 ' b b  2 ' 'b ac   ' 0 

' 0  1 2

'b x x a  

0  1 2 ' ' ' ' ; . b b x x a a      

DeThi.edu.vn

- Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm 1 2 1; .  c x x a 1.2. Bài tập Một số dạng bài tập thường gặp là: 1 - Giải phương trình bậc hai một ẩn 2 - Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là ≥ 0 mà ta lại có: = b2 – 4ac nên khi ac < 0 thì > 0. Do đó với nhiều trường hợp phức tạp ta chỉ cần xét ac < 0 để chứng minh phương trình đó luôn có nghiệm. 3 - Nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỷ của phương trình bậc hai 4 - Tìm giá trị của tham số để hai phương trình có nghiệm chung

Bài toán. Hai phương trình bậc hai  2 1 1 1 0 *    a x b x c và   2 2 2 2 0 **    a x b x c với

1 2 1 2 1 2 , , , , ,c a a b b c là các tham số, xác định giá trị của tham số để 2 phương trình có nghiệm chung. Phương pháp giải. Bước 1. Giả sử x0 là nghiệm cung của hai phương trình khi đó:

 

2 1 0 1 0 1 2 2 2 2

0 1

0 2

        

a x b x c

a x b x c

Từ hệ phương trình ta xác định được giá trị của tham số. Bước 2. Thay giá trị của tham số vào phương trình (*) và (**) tính ra nghiệm chung và kết luận. 5 - Chứng minh trong một hệ các phương trình bậc hai có ít nhất một phương trình có nghiệm. Phương pháp: Để chứng minh có ít nhất một phương trình bậc hai trong hệ phương trình bậc hai có nghiệm ta chứng minh tổng các biệt thức delta lớn hơn hoặc bằng 0. 6 - Ứng dụng của phương trình bậc hai trong việc chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Phương pháp: Để một phương trình bậc 2 có nghiệm thì ta cần có biệt thức 0  , vận dụng linh hoạt điều này chúng ta có thể tìm được miền giá trị của một biểu thức.

Ví dụ 1. Giải phương trình: (m là tham số) (1)

a) Giải phương trình với m = 1. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. c) Tìm m để tập nghiệm của phương trình có một phần tử.

Hướng dẫn giải

a) Với m = 1 ta có: 2 4 3 0    x x

Ta có:   2 ' 2 1. 3 4 3 7      

Do đó: 1 2 2 7 2 7 2 7 ; 2 7 1 1       x x

  

2 2( 3) 4 0 mx m x m     

DeThi.edu.vn