Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 5 Hệ phương trình

1

CHUYÊN ĐỀ 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1. MỘT SỐ DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1.1. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I

LÝ THUYẾT CHUNG:

Hệ đối xứng loại II là hệ có dạng:    

f x,y 0

g x,y 0

    

Trong đó f(x, y) và g(x, y) là các đa thức đối xứng.

Nghĩa là: f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y,x)

Hay hệ phương trình đối xứng loại I là hệ phương trình có vai trò x, y hoàn toàn

như nhau trong mỗi phương trình, nếu ta hoán đổi vị trí x và y trong hệ thì hệ

phương trình không thay đổi. Ví dụ: 2 2 x y 2xy 21

2x 2y xy 7

       

Tính chất: Nếu hệ có nghiệm là 0 0 (x ;y ) thì do tính đối xứng, hệ cũng có nghiệm là

0 0 (y ;x ).

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Biến đổi các phương trình của hệ đưa về ẩn S và P mà: S = x + y, P = x.y. Giải được S và P . Khi đó x,y là nghiệm của phương trình: X2 – S.X + P = 0 Một số hằng đẳng thức hay được được sử dụng:

 

 

 

   

     

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

3 3 3 3

2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2

x y x y 2xy S 2P

x xy y x y 3xy S 3P

x xy y x y xy S P

x y x y 3xy x y S 3PS

x y x y 2x y x y 2xy 2x y S 2P 2P

     

      

      

      

                    

2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

x x y y x y xy x y xy S 2P P

x y 1 1 S ; x y xy P

x y 1 1 S 2P ; x y x y P

y x y x S 2P y x xy P

         

   

    

    

THÍ DỤ MINH HỌA

Thí dụ .Giải hệ phương trình 2 2 x y xy 1

x y xy 7

       

Lời giải

DeThi.edu.vn

2

Hệ 2 (x y) xy 1

(x y) 3xy 7

         

Đặt x y S xy P

       2 x, y S 4P    ta được 2 S P 1 S 1, P 2

S 4, P 3 S 3P 7

             

TH 1. S 1 x y 1 x 1, y 2 P 2 xy 2 x 2, y 1                    

TH 2. S 4 x y 4 x 1, y 3 P 3 xy 3 x 3, y 1                    

.

Vậy tập nghiệm của hệ là: S =   ( 1;2); (2; 1); ( 1; 3); ( 3; 1)      

BÀI TẬP

Bài 1. Giải hệ phương trình

3 3 3 3 x x y y 17

x xy y 5

       

Bài 2. Giải hệ phương trình    3 3 3 3 xy(x y) 2

x y x y 7 x 1 y 1 31

          

(Trích đề Chuyên KHTN Hà Nội năm 2018-2019) 1.2. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI II

KHÁI NIỆM

Hệ đối xứng loại II là hệ có dạng:    

f x,y 0

f y,x 0

    

Trong đó: f(x, y) là đa thức không đối xứng.

Hay hệ đối xứng kiểu hai là hệ đối xứng giữa hai phương trình của hệ, nếu ta hoán

đổi vị trí của x và y trong phương trình thứ nhất sẽ được phương trình thứ hai của

hệ. Ví dụ:  

2

2 x 2y 1 1

y 2x 1 2

      

khi thay hoán đổi vị trí của x và y ở phương trình (1) ta

được 2 y 2x 1   đây chính là phương trình (2)

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Trừ từng vế hai phương trình của hệ ta được nhân tử chung (x – y) nhóm lại và đưa về phương tích và sau đó xét hai trường hợp:

x y (x y).A(x,y) 0 A(x,y) 0        Việc trừ theo vế thường phải sử dùng hằng đẳng thức hoặc liên hợp nếu chứa căn:

DeThi.edu.vn

3

     

2 2

3 3 2 2

3 3

3 3 2 2 3

a b a b a b

a b a b a ab b

a b a b

a b a b a b

a ab b

   

   

  



  





 THÍ DỤ MINH HỌA

Thí dụ.Giải hệ phương trình

2

2 x x 2y

y y 2x

      

Lời giải

Điều kiện: x,y 0  .

Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta thu được:

   

     

2 2 x x y y 2 y x

x y x y x y 1 2 x y 0

    

            

Vì      x y x y 1 2 x y 0     

nên phương trình đã cho tương đương với: x y  .

Hay    2 2

x 0

x 2x x 0 x x 2x x x 1 x x 1 0 x 1

3 5 x 2

                    

Vậy hệ có 3 cặp nghiệm:     3 5 3 5 x; y 0;0 , 1;1 , ; 2 2

           BÀI TẬP

Bài 1.Giải hệ phương trình

3

3 x 3x 1 2x 1 y

y 3y 1 2y 1 x

          

Bài 2.Giải hệ phương trình     

    

2 2

2 2 x 1 y 6 y x 1

y 1 x 6 x y 1

           1.3. HỆ CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP

LÝ THUYẾT CHUNG:

+ Là những hệ có dạng:    

1

2

, ,

    

k

k f x y c g x y c

Trong đó …