Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 7 Đường tròn

CHUYÊN ĐỀ 7: ĐƯỜNG TRÒN 1. SỰ XÁC ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN Định nghĩa: Đường tròn tâm O bán kính  R 0 là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng R kí hiệu là (O;R) hay (O) + Đường tròn đi qua các điểm 1 2 n A ,A ,...,A gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác 1 2 n A A ...A + Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác 1 2 n A A ...A gọi là đường tròn nội tiếp đa giác đó. Những tính chất đặc biệt cần nhớ: + Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm vòng tròn ngoại tiếp + Trong tam giác đều , tâm vòng tròn ngoại tiếp là trọng tâm tam giác đó. + Trong tam giác thường: Tâm vòng tròn ngoại tiếp là giao điểm của 3 đường trung trực của 3 cạnh tam giác đó Tâm vòng tròn nội tiếp là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác đó PHƯƠNG PHÁP: Để chứng minh các điểm 1 2 n A ,A ,...,A cùng thuộc một đường tròn ta chứng minh các điểm 1 2 n A ,A ,...,A cách đều điểm O cho trước.

Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD có µ µ   0 C D 90 .Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BD,DC,CA . Chứng minh 4 điểm M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó . Giải:

Kéo dài AD,CB cắt nhau tại điểm T thì tam giác TCD vuông tại T . + Do MN là đường trung bình của tam giác ABD nên NM / /AD + MQ là đường trung bình của tam giác ABC nên MQ / /BC. Mặt khác

   AD BC MN MQ . Chứng minh tương tự ta cũng có:   MN NP,NP PQ . Suy ra MNPQ là hình chữ nhật. Hay các điểm M,N,P,Q thuộc một đường tròn có tâm là giao điểm O của hai đường chéo

NQ,MP Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) . Gọi M là trung điểm của AC

G là trọng tâm của tam giác ABM . Gọi Q là giao điểm của BM và GO . Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BGQ . Giải:

O

Q

P

N

M

D C

B

A

T

Q I

P

N

O

M

K

G

C B

A

DeThi.edu.vn

Vì tam giác ABC cân tại A nên tâm O của vòng tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên đường trung trực của BC .Gọi K là giao điểm của AO và BM Dưng các đường trung tuyến MN,BP của tam giác ABM cắt nhau tại trọng tâm G .Do

  MN / /BC MN AO . Gọi K là giao điểm của BM và AO thì K là trọng tâm của tam giác ABC suy ra GK / /AC . Mặt khác ta có  OM AC suy ra  GK OM hay K là trực tâm của tam giác   OMG MK OG . Như vậy tam giác BQG vuông tại Q . Do đó tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác GQB là trung điểm I của BG .

Ví dụ 3. Cho hình thang vuông ABCD có µ µ   0 A B 90 .   BC 2AD 2a, Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC

M là trung điểm của HC . Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM Giải:

Gọi N là trung điểm của BH thì MN là đường trung bình của tam giác HBC suy ra

 MN AB , mặt khác   BH AM N là trực tâm của tam giác ABM suy ra  AN BM .

Do    1 MN / / BC MN / / AD 2 nên ADMN là hình bình hành suy ra AN / /DM . Từ đó ta

có:  DM BM hay tam giác DBM vuông tại M nên tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác DBM là trung điểm O của BD .

Ta có        2 2 2 2 1 1 1 a 5 R MO BD AB AD 4a a 2 2 2 2 .

Bài toán tương tự cho học sinh thử sức. Cho hình chữ nhật ABCD , kẻ BH vuông góc với AC . Trên AC,CD ta lấy các điểm M,N

sao cho  AM DN AH DC . Chứng minh 4 điểm M,B,C,N nằm trên một đường tròn.

Gợi ý: ·  0 BCN 90 , hãy chứng minh ·  0 BMN 90 Ví dụ 4.Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Gọi M,N là trung điểm của CD,DE . AM cắt

BN tại I. Chứng minh rằng các điểm M,I,O,N,D nằm trên một đường tròn. Giải:

O E N

M

H

D

C B

A

DeThi.edu.vn