Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 8 Đa thức

CHUYÊN ĐỀ 8: ĐA THỨC

Trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi vào các iớp chuyên toán,có bài toán xác định đa thức hoặc tính các giá trị của đa thức.Việc tìm tòi lời giải bài toán xác định đa thức tường gây lung túng cho sinh.Nguyên nhân chính là học sinh được trang bị đầy đủ các kiến cần thiết nhưng rời rạc ở các khối lớp và thường thiếu bài tập áp dụng. Qua đây nhằm củng cố kiến thức về đa thức tong chương trình toán từ lớp 7 đến lớp 9 rèn kỹ năng giải một số dạng toán trên từ đơn giản đến phức tạp mà kiến thức của nó không vượt quá trình độ THCS.

1. Xác định đa thức

Ví dụ 1. Cho đa thức: 

2 . f x a x bx c    , Xác định các hệ số a,b,c biết:

    0 2; 1 7; 2 14 f f f    

Lời giải

Theo bài ra ta có:

f(0) = 2 0 c 2 c 2     

f(1) = 0 a b 2 7 a b 5        (1)

f(-2) = -14 4a 2b 2 14 2a b 8        (2)

Từ (1) và (2) suy ra: a = -1 và b = 6.

Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = -x2 + 6x + 2.

Chú ý: Để xác định được đa thức bậc n thì cần biết n + 1 giá trị của đa thức, còn nếu chỉ biết n giá trị thì đa thức tìm được có hệ số phụ thuộc một tham số.

Bài tập áp dụng: Xác định đa thức: 

3 2 . P x a x bx cx d     , biết:

     0 2017, 1 2, 1 6, 2 6033 P P P P     

Ví dụ 2. Tìm đa thức P(x) bậc 4 thỏa mãi các điều kiện sau:

P(-1) = 0 và       P x P x 1 x x 1 2x 1 , x R.      

Lời giải

Với x = 0 thì    P 0 P 1 0   

Với x = - 1 thì     P 1 P 2 0    

Do đó P(x) nhận -1, 0, -2 là nghiệm.

Đặt      P x x x 1 x 2 ax b     vớ a ≠ 0.

Với x = 1 thì P(1) = P(0) + 6 = 6. Suy ra: a + b = 6 (1)

Với x = 2 thì P(2) = P(1) + 30 = 36. Suy ra: 3 2a b 2   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 1 a b 2  

Vậy    2 1 P x x 1 x 2 2   

DeThi.edu.vn

Bài tập áp dụng: Tìm tất cả các đa thức P(x) bậc nhỏ hơn 4 và thoả mãn hệ thức sau ít nhất 4 giá trị phân biệt của x: x.P(x – 1) = (x – 2).P(x)

Ví dụ 3. Tìm các đa thức f(x) có tất cả các hệ số là số nguyênkhông âm nhỏ hơn 8 và thoả mãn: f(8) = 2003.

Lời giải

Xét đa thức f(x) = anxn + an –1xn-1 + ...+ a1x + a0 với a0, a1 ... an-1, an đều là các số nguyên không âm và nhỏ hơn 8.

Do f(8) = 2003 nên an.8n + an-1.8n-1 + ...+a1.8 + a0 = 2003

Ở đây a0, a1, ..., an-1, an là các chữ số của 2003 được viết trong hệ ghi số cơ số 8. Thực hiện việc chia 2003 cho 8 được dư a0 = 3 lại lấy thương chia cho 8, liên tiếp như vậy ta được đa thức cần tìm là: f(x) = 3x3 + 7x2 + 2x + 3

Bài tập áp dụng: Tìm đa thức f(x) các hệ số đều là số nguyên không âm nhỏ hơn 5 và f(5) = 352

2. Xác định đa thức dư khi biết một số phép tính khác

Ví dụ 1. Đa thức f(x) nếu chia cho x –1 được số dư bằng 4, nếu chia cho x-3 được số dư bằng 14.

Tìm đa thức dư của phép chia f(x) cho (x – 1)(x –3)

Lời giải

Cách 1: Gọi thương của phép chia f(x) cho x – 1 và cho x – 3 theo theo thứ tự là A(x) và B(x)

Ta có:

f(x) = (x – 1).A(x) + 4 với mọi x (1)

f(x) = (x – 3).B(x) + 14 vỡi mọi x (2)

Gọi thương của phép chia f(x) cho (x – 1)(x – 3) là C(x) và dư là R(x).Vì bậc của R(x) nhỏ hơn bậc của số chia nên bậc của nó nhỏ hơn bậc 2 nên R(x) có dạng ax + b

Ta có: f(x) = (x – 1)(x – 3).C(x) +ax + b với mọi x (3)

Thay x =1 vào (1) và (3) ta được : f(1) = a + b

Thay x =3 vào (2) và (3) ta được : f(3) =14; f(3) = 3a + b

  

  

 

   

   1

5

14 3

4

b

a

b a

b a

Vậy đa thức dư của phép chia f(x) cho (x – 1)(x – 3) là 5x – 1

Cách 2:

f(x) = (x – 1).A(x) + 4

nên (x – 3).f(x) = (x – 3)(x – 1).A(x) + 4(x – 3) (1)

f(x) = (x – 3).B(x) + 14

nên (x – 1).f(x) = (x – 3)(x – 1).B(x) + 14(x – 1) (2)

Lấy (2) – (1) ta được:

[(x – 1) – (x – 3) ].f(x) =(x – 1)(x – 3) [A(x) – B(x)] + 14(x – 1) – (x – 3)

nên 2f(x) = (x – 1)(x – 3)[A(x) – B(x)] + 10x – 2

f(x) = (x – 1)(x – 3). 1 5 2

) ( ) (    x x B x A

Ta thấy 5x – 1 có bậc bé hơn bậc số chia vậy số dư cần tìm là 5x – 1.

DeThi.edu.vn