Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 9 Chia hết trên tập hợp số

1

CHUYÊN ĐỀ 9: CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ

1. Chứng minh chia hết

Ví dụ 1. Cho x, y, z là các số nguyên dương phân biệt. Chứng minh rằng:

           5 5 5 x y y z z x chia hết cho        5 x y y z z x

Lời giải

Đặt     a x y; b y z khi đó ta được      z x a b .

Bài toán quy về chứng minh      5 5 5 a b a b chia hết cho    5ab a b . Ta có

   

       

  

          

                     

5 5 5 4 3 2 2 3 4 3 2 2 3

3 3 2 2 2 2

2 2

a b a b 5a b 10a b 10a b 5ab 5ab a 2a b 2ab b

5ab a b 2a b 2ab 5ab a b a ab b 2ab a b

5ab a b a ab b

Dễ thấy           2 2 5ab a b a ab b 5ab a b .

Do đó      5 5 5 a b a b chia hết cho    5ab a b hay ta được            5 5 5 x y y z z x

chia hết cho        5 x y y z z x .

Ví dụ 2. Cho 2014 số tự nhiên bất kì 1 2 2014 x ;x ;...;x . Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết

cho 2014 hoặc một số số có tổng chia hết cho 2014.

Lời giải

Xét dãy số sau           1 1 2 1 2 3 1 2 3 2014 1 2 2014 S x ;S x x ;S x x x ;...;S x x ... x .

 Nếu trong các số 1 2 3 2014 S ;S ;S ;...;S có một số chia hết cho 2014 thì bài toán được chứng

minh.

 Nếu trong các số 1 2 3 2014 S ;S ;S ;...;S không có số nào chia hết cho 2014. Khi đó trong dãy

số đó tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 2014.

Không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là iS và jS với  1 i j 2014 .

Khi đó ta được   j i S S 2014 hay ta được            1 2 j 1 2 i x x ... x x x ... x 2014

Suy ra       i 1 i 2 j x x ... x 2014 .

Vậy bài toán được chứng minh.

Nhận xét: Ta có thể tổng quát hóa bài toán như sau: Cho n số tự nhiên 1 2 n x ;x ;...;x . Chứng

minh rằng trong n số trên có một số chia hết cho n hoặc một số số có tổng chia hết cho n.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên  n 4 luôn tồn tại cặp số tự nhiên x, y với

  n x n 2 và   n y n 2 thỏa mãn  2 x y chia hết cho n.

DeThi.edu.vn

2

Lời giải

Ta xét các trường hợp sau

 Với   5 n 8 hay ta được   2 2 2 1 n 3 , khi đó ta chọn  2 y 2 và   x n 2 .

Dễ thấy x và y thỏa mãn các điều kiện   n x n 2 và   n y n 2 .

Ta có                 2 2 2 2 2 x y n 2 2 n 4n 4 4 n 4n n n 4 chia hết cho n.

 Với  n 9 , khi đó ta chọn   x 5; y 7 thì x và y thỏa mãn   n x n 2 và   n y n 2 .

Ta có     2 2 x y 5 7 18 chia hết cho 9.

 Với  n 10, khi đó luôn tồn tại số tự nhiên k sao cho     

2 2 k 1 n k 1 .

Từ đó ta được  k 3 và do   2 2k k n nên n k 2 .

Ta chọn  2 y k và   x n k , dễ thấy      n n n n k n 2 2 hay ta được   n x n 2 .

Mặt khác    2 2 y k k 1 n .

Lại có                      2 2 2 2 n 2y n 2y k 1 2k k 2k 1 k 2k 1 k k 2 1 0 y 2

Như vậy các số x và y thỏa mãn các điều kiện   n x n 2 và   n y n 2 .

Ta có                 2 2 2 2 2 2 2 x y n k k n 2nk k k n 2nk n n 2k chia hết cho n.

Vậy với  n 4 ta luôn tìm được các số x, y thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 43. Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn     a 2 b và     b 3 a

Lời giải

Giả sử a, b là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện bài toán, khi đó ta có      

    





a 2 b 1

b 3 a 2

Từ đó tồn tại các số nguyên dương m và n thỏa mãn     

a 2 mb b 3 na .

Cũng từ trên ta suy ra được   a 2 b và   b 3 a nên     b a 3 b 5 . Ta xét các trường

hợp sau

 Trường hợp 1: Nếu   a 2 b , khi đó từ (2) ta được    b 3 a 5 chia hết cho a nên 5 chia

hết cho a, suy ra a chỉ có thể là 1 hoặc 5.

Với  a 1 thì ta được  b 3 , với  a 5 thì  b 7 đều thỏa mãn yêu cầu bài toán.

DeThi.edu.vn