Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 11 Chính phương, số lập phương - Trần Kim Oanh

Giáo viên: Trần Kim Oanh CHUYÊN ĐỀ: CHÍNH PHƯƠNG, SỐ LẬP PHƯƠNG 1. Chứng minh một số là số chính phương, lập phương Phương pháp: đưa số đó về dạng bình phương đúng hoặc lập phương đúng của một biểu thức hoặc một số nguyên.

Ví dụ 1. Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn          2 c ac 1 5c 2b 2c b . Chứng minh

rằng c là một số chính phương lẻ.

Lời giải Cách 1. Ta biến đổi giả thiết như sau

                 2 2 2 2 c ac 1 5c 2b 2c b 2b 9cb 10c c ac 1 0

Xem        2 2 2 2b 9cb 10c c ac 1 0 là phương trình bậc ha ẩn b, khi đó           

2

b c c 8 ac 1 .

Và phương trình có nghiệm nguyên nên ta có b phải là số chính phương.

Đặt             

2 2 * b c c 8 ac 1 x ,x N .

Gọi       

2 d c,c 8 ac 1 , khi đó ta có                  2 2 c 8 ac 1 c d 8 ac 1 d

Lại có  c d nên ta suy ra được       2 d, ac 1 1. Từ đó suy ra  8 d hay    d 1;2;4;8

Ta đi xét các trường hợp sau:

 Trường hợp 1: Với  d 8 , khi đó từ       

2 d c,c 8 ac 1 ta suy ra           

2 c c , ac 1 1 8 8

Lại có           

2 2 c c 8 ac 1 x nên                

2 2 c c x ac 1 8 8 8

Từ đó ta được  x 8 , ta đặt   * x 8k,k N . Từ đó suy ra           

2 2 c c ac 1 k 8 8 .

Từ đó dẫn đến  2 c t 8 và      2 2 c ac 1 s 8 với  * t,s N và   t,s 1

Suy ra

 

     

2

2 2 2 2 c 8t

t 8t a 1 s

. Chú ý rằng             2 2 2 2 2 2 2 8t a 1 t 8t a 1 8t a 2

Do đó ta được         2 2 2 2 2 8t a 1 s 8t a 2 , mà      2 2 2 2 8t a 1 ; 8t a 1 là hai số chính phương liên

tiếp. Do đó không tồn tại s thỏa mãn.

 Trường hợp 2: Với  d 4 , khi đó từ       

2 d c,c 8 ac 1 ta suy ra           

2 c c , 2 ac 1 1 4 4

Lại có           

2 2 c c 8 ac 1 x nên c

4 và    

2 c 2 ac 1 4 là các số chính phương.

Nếu c

4 là số chẵn thì    

2 c 2 ac 1 4 là số chẵn, do đó           

2 c c , 2 ac 1 2 4 4 , điều này mâu thuẫn

với           

2 c c , 2 ac 1 1 4 4 .

Do đó c

4 là số lẻ, mà c

4 là số chính phương nên c

4 chia 4 có số dư là 1.

Mặt khác do c là số chẵn nên  ac 1 là số lẻ, do đó ta được   

2 ac 1 chia 4 có số dư là 1.

DeThi.edu.vn

Giáo viên: Trần Kim Oanh

Từ đó suy ra    

2 c 2 ac 1 4 chia 4 có số dư là 3. Điều này vô lí vì    

2 c 2 ac 1 4 là số chính

phương. Vậy trường hợp này loại.

 Trường hợp 3: Với  d 2 , khi đó hoàn toàn tương tự như trên ta xét c

2 là số lẻ, mà c

4 là số chính

phương nên c

2 chia 4 có số dư là 1.

Mặt khác do c là số chẵn nên  ac 1 là số lẻ, do đó ta được   

2 ac 1 chia 4 có số dư là 1.

Từ đó suy ra    

2 c 4 ac 1 2 chia 4 có số dư là 5. Điều này vô lí vì    

2 c 4 ac 1 2 là số chính

phương. Vậy trường hợp này loại.

 Trường hợp 4: Với  d 1, khi đó hoàn toàn tương tự như trên ta xét c là số lẻ.

Và do           

2 c c , ac 1 1 8 8 , lại có           

2 2 c c 8 ac 1 x nên c là số chính phương.

Như vậy từ các trường hợp trên ta được c là một số chính phương lẻ. Cách 2. Gọi    d b,c , khi đó ta có   b dn;c dm với  * m,n N và   m,n 1.

Thay vào          2 c ac 1 5c 2b 2c b ta được          2 m dam 1 d 5m 2n 2m n

Từ đó suy ra     2 m dam 1 d. Mà ta có     d,dam 1 1 nên dẫn đến  m d .

Đặt   * m dk,k N , khi đó       n,k d,n 1.

Khi đó từ          2 m dam 1 d 5m 2n 2m n ta được          2 2 k d ak 1 5dk 2n 2dk n

Do đó       5dk 2n 2dk n k , mà ta có     k,2dk n 1 nên suy ra     5dk 2n k 2n k .

Lại có   k,n 1 nên dẫn đến  2 k , do đó    k 1;2 . Ta xét các trường hợp sau

 Trường hợp 1: Xét  k 2 , khi đó ta có                    2 2 2 2 ad 1 10d 2n 4d n ad 1 5d n 4d n

Do             5d n,4d n d,4d n d,n 1 nên

      

2

2 5d n x

4d n y

, với  * x,y N và   x,y 1.

Từ đó suy ra   2 2 …