Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 13 Góc và đường tròn

CHUYÊN ĐỀ 13: GÓC VÀ ĐƯỜNG TRÒN

1. Góc nội tiếp

1.1. Lý thuyết cơ bản

Định nghĩa

Góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn gọi là góc nội tiếp.

Lưu ý: Cung nằm bên trong góc nội tiếp được gọi là cung bị chắn.

Định lý

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Hệ quả

Trong một đường tròn:

a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

1.2. BÀI TẬP

Bài 1. Cho đường tròn  O và điểm I không nằm trên O . Qua điểm I vẽ hai dây AB và CD ( A nằm

giữa I và B , C nằm giữa I và D )

a) So sánh các cặp góc ·ACI và ·ABD ; ·ACI và ·CDB

b) Chứng minh các tam giác IAC và IDB đồng dạng

c) Chứng minh . . IA IB IC ID 

Lời giải

a) Có A , B ,C , D cùng thuộc đường tròn  O

ABDC  là tứ giác nội tiếp · · 180 ACD ABD    

Mà · · 180 ACD ACI     ( hai góc kề bù )

· · ACI ABD  

b) Xét IAC  và IDB  có :

· · ACI ABD  (cmt)

DeThi.edu.vn

·AIC chung

IAC IDB   ” (g_g)

c) IAC IDB   ” (cmt)

IA IC ID IB   (các cạnh tương ứng)

. . IA IB IC ID   (ĐPCM)

Bài 2. Cho nửa đường tròn  O đường kính AB . Lấy M là điểm tùy ý trên nửa đường tròn ( M khác A và B ). Kẻ MH vuông góc với AB ( H AB  ) . Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa

đường tròn  O vẽ hai nửa đường tròn tâm   1 O , đường kính AH và tâm   2 O đường kính

BH . Đoạn MA và MB cắt nửa đường tròn   1 O vào   2 O lần lượt tại P và Q . Chứng minh

rằng: a) MH PQ 

b) MPQ  đồng dạng với MBA 

c) PQ là tiếp tuyến của đường tròn   1 O và   2 O

Lời giải

a) Chứng minh MH PQ 

Ta có M thuộc đường tròn đường kính AB nên · 90 AMB  hay · 90 MPH  

Ta có P thuộc đường tròn đường kính AH nên · 90 APH   · 90 MPH   

Ta có Q thuộc đường tròn đường kính HB nên · 90 HQB   · 90 MQH   

Tứ giác MPHQ có · 90 MPH  

· 90 MPH  

· 90 MQH  

Tứ giác MPHQ là hình chữ nhật

MH PQ   ( tính chất hình chữ nhật)

DeThi.edu.vn

b) Chứng minh MPQ  đồng dạng với MBA 

Ta có · 90 APH HP AM   

· 90 HQB HQ MB   

Xét MAH  vuông tại H có HP là đường cao

2 . MH MP MA   (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét MBH  vuông tại H có HQ là đường cao

2 . MH MQ MB   (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Suy ra . . MP MA MQ MB  MP MQ MB MA  

Xét MPQ  và MAB  có

MP MQ MB MA 

·PMQ chung

MPQ MBA   ” (c-g-c)

c) Chứng minh PQ là tiếp tuyến của đường tròn   1 O và   2 O

2 O HQ  cân tại H ( vì 2 2 O Q O H  ) · · 2 2 O HQ O QH  

Mà · · 2 O HQ PAB  ( hai góc đồng vị)

Và · · MQP PAB  ( MPQ MBA   ” )

· · 2 MQP O QH  

· · · · 2 MQP PQH O QH PQH    

· · 2 90 O QP MQP    

2 PQ O Q  

Mà   2 Q O 

PQ  là tiếp tuyến của   2 O

Chứng minh tương tự PQ là tiếp tuyến của   1 O

Vậy PQ là tiếp tuyến chung của   1 O và   2 O .

Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn  O . M là một điểm bất kì trên cung nhỏ

AC . Tia AM cắt BC tại N . Chứng minh rằng:

a)

2 . AB AM AN 

b) · · ACM ANC  c) Qua A kẻ dây AD sao cho dây AD cắt dây BC tại E . Chứng minh . . AD AE AM AN 

Lời giải

DeThi.edu.vn