Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 14 Tứ giác nội tiếp

CHUYÊN ĐỀ 14: TỨ GIÁC NỘI TIẾP 1. Nhận biết tứ giác nội tiếp

 Tính chất 1. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn khi và chỉ góc trong của tứ giác và góc ngoài ở đỉnh đối diện bằng nhau

 Tính chất 2. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn khi và chỉ khi · ·  ACB ADB  Tính chất 3. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn khi và chỉ khi  MA.MB MC.MD, với M là giao điểm của AB và CD.

 Tính chất 4. Tứ giác ABCD có nội tiếp đường tròn khi và chỉ khi  MA.MC MB.MD, với M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Một số định lí hình học nổi tiếng

 Đường tròn Euler: Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Gọi M, N, P lần lượt ta trung điểm của BC, CA, AB. Gọi S, R, Q lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC. Khi đó chín điểm D, E, F, M, N, P, Q, R, S cùng nằm trên một đường tròn.

 Hệ thức Euler: Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Gọi d là độ dài đoạn nối tâm của hai đường tròn. Khi đó ta có     2 d R R 2r

 Định lý Ptoleme: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn khi và chỉ khi

  AB.CD AD.BC AC.BD . Bài 1: Cho tam giác nhọn có nội tiếp đường tròn (O). Kẻ phân giác trong AI của tam giác cắt (O) ở E. Tại E và C kẻ hai tiếp tuyến với (O) cắt nhau ở F, AE cắt CF tại N, AB cắt CE tại M. Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp đường tròn.

Lời giải

Do AI là phân giác nên , theo tính chất góc ngoài đường tròn, ta có :

Vậy tứ giác AMNC nội tiếp.

Bài 2: Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R (M không trùng với A và B). Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tiếp tuyến Ax.

Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của cắt nửa đường tròn O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K. Chứng minh 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn.

Lời giải

I F

ABC AC AB  ABC ( ) I BC 

» » BE CE 

· » » » » · AMC AC BE AC CE ANC     

·IAM

DeThi.edu.vn

M H E K

A O B

Ta có M, E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB nên và . Vậy 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên đường tròn đường kính FK. Bài 3: Cho đường tròn tâm O có hai đường kính AB và MN. Vẽ tiếp tuyến d của đường tròn (O) tại B. Đường thẳng AM, AN lần lượt cắt đường thẳng d tại E và F. Chứng minh rằng MNFE là tứ giác nội tiếp. Bài 4: Cho tam giác nhọn có nội tiếp đường tròn (O). Kẻ phân giác trong AI của tam giác cắt (O) ở E. Tại E và C kẻ hai tiếp tuyến với (O) cắt nhau ở F, AE cắt CF tại N, AB cắt CE tại M. Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp đường tròn. Bài 5: Cho đường tròn tâm O có hai đường kính AB và MN. Vẽ tiếp tuyến d của đường tròn (O) tại B. Đường thẳng AM, AN lần lượt cắt đường thẳng d tại E và F. Chứng minh rằng MNFE là tứ giác nội tiếp. Bài 6: Cho tam giác , , với ba đường cao , , đồng quy tại Các

đường thẳng , cắt nhau tại , gọi là hình chiếu của trên Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp. Bài 7: Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn . Giả sử các điểm cố

định và di động trên đường tròn sao cho và . Đường trung trực của

đoạn thẳng cắt và lần lượt tại và . Đường trung trực của đoạn thẳng cắt và lần lượt tại và . Chứng minh rằng bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn. Bài 8: Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB cố định, . Điểm P di động trên dây AB (P khác A và B). Gọi là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại A ,

là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại B. hai đường tròn

và cắt nhau tại điểm thứ hai là M. Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây

AB, chứng minh OM//CD và 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đường tròn 2. Ứng dụng của tứ giác nội tiếp 2.1. Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau, trung điểm Phương pháp: để chứng minh góc bằng nhau, đoạn bằng nhau ta sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp kết hợp chứng minh tam giác đồng dạng, tam giác bằng nhau Bài 1: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm (O; R). Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm), cát tuyến MPQ không đi qua O (P nằm giữa M, Q). Gọi H là giao điểm của OM và AB. a. Chứng minh:

b. Tìm điểm E thuộc …