Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất - Trần Kim Oanh

GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH – TRƯỜNG THCS NGUYỄN CAO

BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 1. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI 1.1. Kiến thức cần nhớ 1.1.1Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Cauchy a. Dạng tổng quát + Cho x1, x2, x3 ,..., xn là các số thực không âm ta có:

Dạng 1: 1 2 n n

1 2 n x x ... x x .x ...x n    

Dạng 2: n 1 2 n 1 2 n x x ... x n. x .x ...x    

Dạng 3:

n

1 2 n

1 2 n x x ... x x .x ...x n

            Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n x x ... x   

+ Cho x1, x2, x3 ,..., xn là các số thực dương ta có:

Dạng 1:

2

1 2 n 1 2 n

1 1 1 n ... x x x x x ...x      

Dạng 2:  

2 1 2 n

1 2 n

1 1 1 x x ...x ... n x x x

              Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n x x ... x   

b. Một số dạng đặc biệt

N n 2  n 3  Điều kiện x, y 0  x, y, z 0 

Dạng 1 x y xy 2   3 x y z xyz 3   

Dạng 2

2 x y xy 2        

3 x y z xyz 3         

Dạng 3

1 1 4 x y x y      x, y 0 

1 1 1 9 x y z x y z        x, y, z 0 

Dạng 4  1 1 x y 4 x y            x, y 0 

 1 1 1 x y z 9 x y z              x, y, z 0 

Đẳng thức xẩy ra x y  x y z   1.1.2. Một số bất đẳng thức được suy ra từ bất đẳng thức Cauchy

+      

2 2 2 2 2 x y 2xy; 2 x y x y ; 2 x y x y        

+  

2

2 2 3 x y x y xy 4

   

+

2 2 2 x y z xy yz zx     

+      

2 2 2 2 3 x y z x y z 3 xy yz zx        

DeThi.edu.vn

GIÁO VIÊN: TRẦN KIM OANH – TRƯỜNG THCS NGUYỄN CAO

+   2 2 2 2 2 2 x y y z z y xyz x y z     

+      

2 4 4 4 3 x y z xy yz zx 3xyz x y z        

1.2. Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy 1.2.1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân

Bài toán 1. Cho số thực a 2  . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 1 A a a  

Sai lầm thường gặp là: 1 1 A a 2 a 2 a a      . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2.

Nguyên nhân sai lầm: giá trị nhỏ nhất của A là 2 1 a a 1 a     , điều này không xẩy ra vì theo

giả thiết thì a 2.  Phân tích: Quan sát bất đẳng thức trên ta nhận thấy giá trị của a càng tăng thì A càng tăng, do đó ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi a 2  . Khi đó ta nói A đạt giá trị nhỏ nhất tại “Điểm rơi a 2  ”. Ta

không thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a và 1

a

vì không thỏa mãn dấu đẳng thức xẩy ra. Vì

vậy ta phải tách a hoặc 1

a

để khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì thỏa mãn dấu đẳng thức xẩy ra. Giả

sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số a 1 , k a      

sao cho tại “Điểm rơi a 2  ” thì a 1 k a  , ta có

sơ đồ sau:

a 1

2 1 k a a 2 k 4 1 1 k 2 a 2

            

Khi đó ta được 1 a 3a 1 A a a 4 4 a      và ta có lời giải như trên.

Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

1 a 1 3a a 1 3a 3.2 5 A a 2 1 a 4 a 4 4 a 4 4 2           

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 2  . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 5. 2

Chú ý: Ngoài cách chọn cặp số 1 ,      

a k a

ta có thể chọn các các cặp số sau: 1 ,       ka a

hoặc ,      

k a a

hoặc

1 ,       a ka

.

Bài toán 2. Cho số thực a 2  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 1 A a

a  

Bài toán 3. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a b 1   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 A ab ab  

Bài toán 4. Cho số thực a 6  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 18 A a a  

DeThi.edu.vn