Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 16 Bất đẳng thức và cực trị hình học

CHUYÊN ĐỀ 16: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC 1. Bài toán tổng quát và cách giải a) Bài toán tổng quát

“Trong tất cả các hình có chung một tính chất, tìm những hình mà một đại lượng nào

đó (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích…) có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất”

và có thể được cho dưới các dạng:

Dạng 1: Bài toán về dựng hình

Ví dụ: Cho đường tròn  O và điểm P nằm trong đường tròn, xác định vị trí của dây

đi qua điểm P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất.

Dạng 2: Bài toán về chứng minh

Ví dụ: Chứng minh rằng trong các dây đi qua điểm P trong một đường tròn  O thì

dây vuông góc với OP có độ dài nhỏ nhất.

Dạng 3: Bài toán về tính toán

Ví dụ: Cho đường tròn   ; O R và điểm P nằm trong đường tròn có OP h  . Tính

độ dài nhỏ nhất của dây đi qua P .

b) Hướng giải bài toán cực trị hình học

Loại 1: Tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị lớn nhất

Ta phải chứng tỏ được:

+ Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f m  (m là hằng số)

+ Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f m 

Loại 2: Tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị nhỏ nhất

Ta phải chứng tỏ được:

+ Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f m  ( m là hằng số)

+ Xác định vị trí của hình H trên miền D để f m 

c) Cách trình bày lời giải bài toán cực trị hình học

Cách 1: Trong các hình có tính chất của đề bài, chỉ ra một hình rồi chứng minh mọi

hình khác đều có giá trị của đại lượng phải tìm cực trị nhỏ hơn (hoặc lớn hơn) giá trị của đại

lượng đó của hình đã chỉ ra.

Cách 2: Thay điều kiện một đại lượng đạt cực trị (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) bằng các

điều kiện tương đương, cuối cùng dẫn đến một điều kiện mà ta xác định được vị trí của các

điểm đạt cực trị.

DeThi.edu.vn

Ví dụ: Cho đường tròn  O và điểm P nằm trong đường tròn ( P không trùng với

O). Xác định vị trí của dây đi qua điểm P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất.

Lời giải:

Cách 1:

Gọi AB là dây vuông góc với OP tại P và dây CD là dây bất

kỳ đi qua P và không trùng với AB .

Kẻ OH CD  suy ra OHP  vuông tại H OH OP   CD AB  

Như vậy trong tất cả các dây đi qua P, dây vuông góc với OP tại P có độ dài nhỏ nhất.

Cách 2:

Xét dây AB bất kỳ đi qua P, kẻ OH AB 

Theo liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm ta có:

AB nhỏ nhất  OH lớn nhất

Ta lại có OH ≤ OP. Dấu bằng xảy ra khi H ≡ P. Vậy OH lớn nhất khi H ≡ P. Khi đó dây AB

vuông góc với OP tại P.

2. Một số bài toán tìm cực trị hình học cơ bản

a) Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu

Kiến thức cần nhớ:

Định lí 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường

thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Định lí 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường

thẳng đó:

 Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn  Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn  Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, và ngược lại, nếu hai hình

chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.

H

O C

D

A B P

H

O A

B P

DeThi.edu.vn