Tổng hợp kiến thức Hình học Lớp 12 - Các khối đa diện đều

CÁC KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

Tên (m mặt) Loại {p;q}

Số đỉnh =mp/q

Số cạnh =mp/2

Số mp đối xứng Tứ diện đều {3;3} 4 6 6 Hình lập phương {4;3} 8 12 9 Bát diện đều {3;4} 6 12 9 Thập nhị (12) mặt đều {5;3} 20 30 15 Nhị thập (20) mặt đều {3;5} 12 30 15 CÁC LOẠI ĐÁY THƯỜNG GẶP

Tam giác đều cạnh a Đường cao: 𝒂𝒂√𝟑𝟑

𝟐𝟐

Bán kính đường tròn ngoại tiếp:

𝑹𝑹đ = 𝒂𝒂√𝟑𝟑

𝟑𝟑

Diện tích: 𝒂𝒂𝟐𝟐√𝟑𝟑

𝟒𝟒

Tam giác vuông cân cạnh bên bằng a

Cạnh huyền: 𝒂𝒂√𝟐𝟐 Bán kính đường

tròn ngoại tiếp: 𝒂𝒂√𝟐𝟐

𝟐𝟐

Diện tích: 𝒂𝒂𝟐𝟐

𝟐𝟐

Tam giác vuông 𝟔𝟔𝟎𝟎𝒐𝒐

Tỉ lệ 3 cạnh: 𝟏𝟏: √𝟑𝟑: 𝟐𝟐 Bán kính đường tròn ngoại tiếp: 𝒂𝒂 Đường cao ứng với cạnh huyền: 𝒂𝒂√𝟑𝟑/𝟐𝟐

Diện tích: 𝒂𝒂𝟐𝟐√𝟑𝟑

𝟐𝟐

Tam giác cân có đỉnh 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝒐𝒐

Đường cao = ½ cạnh bên. Cạnh đáy = √𝟑𝟑 cạnh bên. 𝑹𝑹đ = 𝒂𝒂

Diện tích: 𝒂𝒂𝟐𝟐√𝟑𝟑

𝟒𝟒

Hình vuông cạnh a

Diện tích: 𝒂𝒂𝟐𝟐

𝑹𝑹đ = 𝒂𝒂√𝟐𝟐

𝟐𝟐

Đáy là hình chữ nhật 𝒂𝒂× 𝒃𝒃

Diện tích: ab Bán kính đường tròn ngoại tiếp: 𝟏𝟏 𝟐𝟐ඥ𝒂𝒂𝟐𝟐+ 𝒃𝒃𝟐𝟐

Hình thoi có góc 𝟔𝟔𝟎𝟎𝒐𝒐 Hình ghép của hai tam giác đều. Hình ghép của hai tam giác cân 120. Diện tích bằng ½ tích hai đường chéo = 𝒂𝒂𝟐𝟐√𝟑𝟑

𝟐𝟐.

Hình thang vuông đặc biệt Ghép bởi 1 hình vuông và 1 tam giác vuông cân. Ghép bởi 2 tam giác vuông cân.

Nửa lục giác đều

Là 3 tam giác đều ghép lại. 𝑹𝑹đ = 𝒂𝒂

Diện tích: 𝟑𝟑𝒂𝒂𝟐𝟐√𝟑𝟑

𝟒𝟒

Đường chéo vuông góc với cạnh bên.

Hình bình hành

Diện tích: 𝒂𝒂𝒂𝒂 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝜶𝜶 Đường chéo ngắn: √𝒂𝒂𝟐𝟐+ 𝒃𝒃𝟐𝟐−𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝜶𝜶 Đường chéo dài ඥ𝒂𝒂𝟐𝟐+ 𝒃𝒃𝟐𝟐+ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝜶𝜶

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Tam giác vuông 𝑩𝑩𝑩𝑩. 𝑩𝑩𝑩𝑩= 𝑩𝑩𝑨𝑨𝟐𝟐 𝑩𝑩𝑩𝑩 𝑩𝑩𝑩𝑩= 𝑩𝑩𝑨𝑨𝟐𝟐

𝑩𝑩𝑪𝑪𝟐𝟐

𝟏𝟏 𝑨𝑨𝑯𝑯𝟐𝟐= 𝟏𝟏 𝑨𝑨𝑩𝑩𝟐𝟐+ 𝟏𝟏 𝑨𝑨𝑪𝑪𝟐𝟐

𝑨𝑨𝑨𝑨. 𝑨𝑨𝑨𝑨= 𝑨𝑨𝑨𝑨. 𝑩𝑩𝑩𝑩

𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝑩𝑩= 𝑨𝑨𝑨𝑨

𝑨𝑨𝑨𝑨 , v.v...

Tam giác thường

𝒓𝒓: bán kính đường tròng nội tiếp. 𝑹𝑹đ: Bán kính đường tròn ngoại tiếp

𝒑𝒑= 𝒂𝒂+𝒃𝒃+𝒄𝒄

𝟐𝟐 : nửa chu vi

𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝑨𝑨= 𝒃𝒃𝟐𝟐+ 𝒄𝒄𝟐𝟐−𝒂𝒂𝟐𝟐

𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐

𝒎𝒎𝒂𝒂𝟐𝟐= 𝒃𝒃𝟐𝟐+ 𝒄𝒄𝟐𝟐

𝟐𝟐 −𝒂𝒂𝟐𝟐

𝟒𝟒

𝒂𝒂 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝑨𝑨= 𝒃𝒃 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝑩𝑩= 𝒄𝒄 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝑪𝑪

= 𝟐𝟐𝑹𝑹đ

Diện tích: 𝟏𝟏

𝟐𝟐𝒂𝒂. 𝒉𝒉𝒂𝒂=

𝟏𝟏

𝟐𝟐𝒃𝒃𝒃𝒃𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝑨𝑨= 𝒑𝒑. 𝒓𝒓= 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂

𝟒𝟒𝑹𝑹đ =

ඥ𝒑𝒑(𝒑𝒑−𝒂𝒂)(𝒑𝒑−𝒃𝒃)(𝒑𝒑−𝒄𝒄) CÁC TRƯỜNG HỢP HÌNH CHÓP THƯỜNG GẶP

Cạnh bên vuông đáy

Đường cao là cạnh bên đó.

Hai mặt cùng vuông với đáy

Đường cao là giao tuyến của hai mặt đó. Mặt bên vuông với đáy

Đường cao là đường cao hạ từ đỉnh S của tam giác mặt bên đó.

Các cạnh bên bằng nhau (cạnh bên cùng tạo với đáy góc bằng nhau).

Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

Thầy Lục Trí Tuyên – 0972177717

DeThi.edu.vn

GÓC CƠ BẢN VÀ KHOẢNG CÁCH CƠ BẢN

Góc giữa cạnh bên và đáy Góc giữa mặt bên và đáy Kẻ từ chân đường cao tới giao điểm của cạnh bên với đáy. Nối với S

Kẻ từ chân đường cao tới giao tuyến của mặt bên với đáy. Nối với S

Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt xiên.

Khoảng cách từ điểm thuộc đáy đến mặt thẳng đứng.

Kẻ vuông hai nhát: - Kẻ HI vuông với giao tuyến.

- Kẻ HK vuông góc với SI

Từ điểm đó kẻ vuông góc với giao tuyến của mặt đó với đáy. KHỐI LĂNG TRỤ

Tách khối chóp ra khỏi lăng trụ

Làm việc với lăng trụ chỉ cần làm việc với hình chóp.

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP VÀ LĂNG TRỤ

Thể tích khối chóp

𝑽𝑽= 𝟏𝟏/𝟑𝟑. 𝑺𝑺đ. 𝒉𝒉

Thể tích lăng trụ

𝑽𝑽= 𝑺𝑺đ. 𝒉𝒉

TỈ SỐ THỂ TÍCH Chóp tam giác

𝑽𝑽(𝑺𝑺. 𝑨𝑨′𝑩𝑩′𝑪𝑪′) 𝑽𝑽(𝑺𝑺. 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨) = 𝑺𝑺𝑨𝑨′

𝑺𝑺𝑺𝑺⋅𝑺𝑺𝑩𝑩′

𝑺𝑺𝑺𝑺⋅𝑺𝑺𝑪𝑪′

𝑺𝑺𝑺𝑺

Chóp hình bình hành

𝒂𝒂= 𝑺𝑺𝑺𝑺

𝑺𝑺𝑨𝑨′ ; 𝒃𝒃= 𝑺𝑺𝑺𝑺

𝑺𝑺𝑩𝑩′ ; 𝒄𝒄= 𝑺𝑺𝑺𝑺

𝑺𝑺𝑪𝑪′ ; 𝒅𝒅= 𝑺𝑺𝑺𝑺

𝑺𝑺𝑫𝑫′

Có: 𝒂𝒂+ 𝒄𝒄= 𝒃𝒃+ 𝒅𝒅 𝑽𝑽(𝑺𝑺𝑨𝑨′𝑩𝑩′𝑪𝑪′𝑫𝑫′)

𝑽𝑽(𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺) = 𝒂𝒂+ 𝒃𝒃+ 𝒄𝒄+ 𝒅𝒅

𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒

Dịch chuyển đinh song song

𝑽𝑽𝑺𝑺= 𝑽𝑽𝑺𝑺

′

Dịch đỉnh không song song

𝑽𝑽𝑺𝑺/𝑽𝑽𝑺𝑺′ = 𝑺𝑺𝑺𝑺/𝑺𝑺′𝑰𝑰

Dịch chuyển đáy: Khi thấy đáy nằm trong một mặt phẳng có thể mở rộng.

𝑽𝑽𝟏𝟏 𝑽𝑽𝟐𝟐

= 𝑺𝑺𝟏𝟏 𝑺𝑺𝟐𝟐

KHỐI NÓN VÀ KHỐI TRỤ

- Thiết diện qua trục: 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 - Góc ở đỉnh: 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 ෣ - Quan hệ: 𝒍𝒍𝟐𝟐= 𝒉𝒉𝟐𝟐+ 𝒓𝒓𝟐𝟐 - Diện tích xq: 𝑺𝑺𝒙𝒙𝒙𝒙= 𝝅𝝅. 𝒓𝒓. 𝒍𝒍 - Diện tích toàn phần:

𝑺𝑺𝒕𝒕𝒕𝒕= 𝝅𝝅𝝅𝝅𝝅𝝅+ 𝝅𝝅𝒓𝒓𝟐𝟐 - Thể tích

𝑽𝑽= 𝟏𝟏 𝟑𝟑𝑺𝑺đ. 𝒉𝒉= 𝟏𝟏 𝟑𝟑𝝅𝝅𝒓𝒓𝟐𝟐𝒉𝒉

Khối nón

- Thiết diện qua trục: Hình chữ nhật 𝟐𝟐𝟐𝟐× 𝒉𝒉 - Thiết diện song song trục là HCN: dây cung × 𝒉𝒉 - Quan hệ: 𝒉𝒉= 𝒍𝒍 - Diện tích xq: 𝑺𝑺𝒙𝒙𝒙𝒙= 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 - Diện tích toàn phần:

𝑺𝑺𝒕𝒕𝒕𝒕= 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐+ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒓𝒓𝟐𝟐 - Thể tích

𝑽𝑽= 𝑺𝑺đ. 𝒉𝒉= 𝝅𝝅𝒓𝒓𝟐𝟐𝒉𝒉

Khối trụ

KHỐI CẦU

𝑽𝑽= 𝟒𝟒 𝟑𝟑𝝅𝝅𝑹𝑹𝟑𝟑; 𝑺𝑺= 𝟒𝟒𝟒𝟒𝑹𝑹𝟐𝟐

Mặt phẳng cắt (S) …