Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 3 Phương trình và hệ phương trình - Bài 3, Phần 2 Phương trình chứa ẩn trong căn bậc hai

➢DẠNG TOÁN 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG CĂN BẬC HAI. 1. Phương pháp giải. Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:

– Nâng luỹ thừa hai vế. – Phân tích thành tích.

– Đặt ẩn phụ. 2. Các ví dụ minh họa.

Loại 1: Bình phương hai vế của phương trình.

Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của phương trình sau

a) 2 2 4 2 x x x + + = -

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm

b) 2 5 4 x x - - =

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm

Lời giải:

a) ĐKXĐ:

2 2 4 0 2 2 0 x x x x

ìï + + ³ ï Û £ íï - ³ ïî

Với điều kiện đó phương trình tương đương với

2 2 1 2 4 2 3 2 0 2 x x x x x x x

é = - ê + + = - Û + + = Û ê = - ë

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là 1 x = - và 2 x = - .

b) ĐKXĐ: 5 2 5 0 2 x x - ³ Û ³ .

2 5 4 2 5 4 x x x x - - = Û - = - (*)

TH1: Với 4 0 4 x x - < Û < ta có (*) 0, (*) 0 VT VP ³ < suy ra phương trình vô nghiệm

TH2: Với 4 0 4 x x - ³ Û ³ ta có hai vế không âm nên phương trình (*) tường đương với

( )

2 2 3 2 5 4 10 21 0 7 x x x x x x

é = ê - = - Û - + = Û ê = ë

Đối chiếu với điều kiện 4 x ³ và điều kiện xác định suy ra chỉ có 7 x = là nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm là 7 x = .

Nhận xét: Từ các lời giải các bài toán trên ta suy ra đối với các dạng phương trình sau ta có thể giải bằng cách thực hiện phép biến đổi tương đương:

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ( ) 0) f x g x f x g x f x hay g x

ì = ïï = Û íï ³ ³ ïî

DeThi.edu.vn

• ( ) ( ) f x g x = 

2 ( ) ( )

( ) 0

f x g x

g x

ìï é ù = ïï ë û íï ³ ïïî Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của phương trình sau

a) 2 3 1 1 x x = + -

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm

b) 2 2 1 3 1 0 x x x - + - + =

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm

Lời giải:

a) Phương trình tương đương với

2 2 2 2 0 0

3 1 1 3 1 1

x x

x x x x

ì ì ³ ³ ï ï ï ï ï ï Û í í ï ï = + - + = + ï ï ï ï î î

( ) 2 2 2 2 2 4 2

0 0 0

1 0 3 1 ( 1) 0

x x x

x x x x x x

ì ì ì ³ ï ³ ³ ï ï ï ï ï ï Û Û Û í í í ï ï ï - = + = + - = ï ï ï î î ïî

0

0 0 1 1

x

x x x x

ì ³ ïï é = ïï ê é Û Û = í ê ê ï = ï ë ê ï = ± ë ïî

Vậy phương trình có nghiệm là 0 x = và 1 x =

b) Ta có 2 2 2 1 3 1 0 2 1 3 1 x x x x x x - + - + = Û - = - + -

( )

2 2

2 2 2 2 3 1 0 3 1 0

2 1 ( 1) ( 4 2 3 ) 0 1

x x x x

x x x x x x

ìï - + - ³ ìï - + - ³ ïï ï Û Û

- - + = í í ï ï - = - + - ï ïî ïî

2 2

2

3 1 0 3 1 0 1 1 1

2 2 4 2 0 2 2

x x x x x x x

x x x x

ì ì ï - + - ³ ï - + - ³ ï ï é ï = ï ï ï ê é é = Û Û Û = í í ê ê ê ï ï = - ê ï ï ê ë ê ï ï - + = = ± ê ë ï ï î ë î

Vậy phương trình có nghiệm là 1 x = và 2 2 x = -

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 2 2 2 1 x mx x + + = + có hai nghiệm phân biệt.

A. 3 2 m ³ B. 9 2 m ³ - C. 9 2 m ³ D. 3 2 m ³ -

Lời giải:

DeThi.edu.vn

Phương trình

2

1 2 3 (4 ) 1 0 (*)

x

x m x

ìïï ³ - ï Û íïï + - - = ïïî

.

Phương trình đã cho có hai nghiệm (*) Û có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1 2 - Û đồ thị

hàm số 2 3 (4 ) 1 y x m x = + - - trên 1 [ ; ) 2 - + ¥ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Xét hàm số 2 3 (4 ) 1 y x m x = + - - trên 1 [ ; ) 2 - + ¥ . Ta có 4 2 6 b m a

- - =

+ TH1: Nếu 4 1 1 6 2 m m - £ - Û £ thì hàm số đồng biến trên 1 [ ; ) 2 - + ¥ nên 1 m £ không thỏa

mãn yêu cầu bài toán.

+ TH2: Nếu 4 1 1 6 2 m m - > - Û > :

Ta có bảng biến thiên

x 1 2 - 4 6 m-

+ ¥

y

1 2 y

æ ö÷ ç- ÷ ç ÷ ç ÷ è ø

+ ¥

4 6 m y

æ ö - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø

Suy ra đồ thị hàm số 2 3 (4 ) 1 y x m x = + - - trên 1 [ ; ) 2 - + ¥ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

1 4 0 2 6 m y y æ ö æ ö - ÷ ÷ ç ç Û - ³ > ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ è ø è ø ( ) 2 2 9 1 0 8 28 4 12 m m m - Û ³ > - + - (1)

Vì ( )

2 2 8 28 4 12 0, m m m m - + - = - - - < " nên

9 (1) 2 9 0 2 m m Û - ³ Û ³ (thỏa mãn 1 m> )

Vậy 9 2 m ³ là giá trị cần tìm.

Loại 2: Phân tích thành tích bằng cách nhân liên hợp.

DeThi.edu.vn