Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 4 Bất đẳng thức - Bài 8 Phương trình và bất phương trình quy về bậc hai

§8. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI

➢DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1. Phương pháp giải Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta cần khử dấu GTTĐ. Sau đây là một số cách thường dùng để khử dấu GTTĐ + Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ. + Đặt ẩn phụ là biểu thức chứa dấu GTTĐ để khử dấu GTTĐ 2. Các ví dụ minh họa. Loại 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất của dấu giá trị tuyệt đối. *Lưu ý: Sau đây là một số loại toán phương trình, bất phương trình cơ bản có thể thức hiện bằng phép biến đổi tương đương.

•

( ) 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

g x

f x g x f x g x

f x g x

ì ³ ïïïï é = Û = í ê ïï ê ï = - ë ïî

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x

é = ê = Û ê = - ë

• ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g x f x g x g x f x g x

ì > ïï < Û íï - < < ïî

•

( ) 0

( )

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

( ) ( )

g x

f x

f x g x g x

f x g x

f x g x

éì < ïïêíêïïêîêì > Û ³ ïêïêïï é ê < - í ê ïêï ê êï > ë ïîë Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) 2 2 2 3 1 2 1 x x x x - - = - + + b) 2 3 5 4 3 4 x x x x - + = - +

c) 2 2 5 4 1 x x x x x - + - + = + d) ( ) 2 3 1 1 12 3 x x x x - + + - = -

Lời giải:

a) Ta có phương trình

2 2

2 2 2

2 2 2

2 1 0 2x 1 0

2 3 1 2 1 3 5 2 0

2 3 1 ( 2 1) 0

x x x

x x x x x x

x x x x x x

ì ì ï ï - + + ³ - - £ ï ï ï ï ï ï é é Û Û - - = - + + - - = í í ê ê ï ï ï ï ê ê ï ï - - = - - + + - = ê ê ï ï ë ë î î

1 2 1 2 2 2 1 1 3 3 0 0 1 1

x x x

x x

x x x x

ìï - £ £ + ï é ï = ï ê é ï = ï ê ê ï ê ï ê = - ï ê Û Û ê í = - ê ï ê ï ê = ê ïï ê ê = ï ê ï = ê ë ï ê ï = ë ïî

Vậy nghiệm của phương trình là 1 0;1;2; 3 x

ì ü ï ï ï ï Î - í ý ï ï ï ï î þ

DeThi.edu.vn

b) Với 2 1 4 5 4 0 x x x £ £ Þ - + ³ ta có

Phương trình ( ) 2 3 3 2 5 4 3 4 8 8 0 x x x x x x x Û - - + = - + Û + - + =

Áp dụng BĐT côsi ta có

3 3 3 2 4 2 3 8 6 , 2 2 2 x x x x x + + ³ = + ³

Suy ra ( ) 3 2 8 8 6 2 2 8 2 2 2 0 x x x x x x x + - + ³ + - = - >

Do đó phương trình vô nghiệm.

Với 2 4 5 4 0 1 x x x x

é > ê Þ - + > ê < ë

ta có

Phương trình 2 3 5 4 3 4 x x x x Û - + = - +

3 2 2 0 0 x x x x Û - + = Û = (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là 0 x =

c) Bảng xét dấu

x - ¥ 1 - 1 4 + ¥ 1 x+ - 0 + 0 + | +

2 5 4 x x - + + 0 + 0 - 0 +

Từ đó ta có các trường hợp sau

• Với 1 x £ - , ta có phương trình ( ) ( ) 2 2 5 4 1 1 x x x x x x Û - + + + = + Û = (loại)

• Với 1 1 x - < £ , ta có phương trình ( ) ( ) 2 2 5 4 1 x x x x x Û - + - + = +

 x = 3

7 (thỏa mãn)

• Với 1 4 x < £ , ta có phương trình ( ) ( ) 2 2 5 4 1 x x x x x - - + - + = +

2 2 3 5 0 x x Û - + = phương trình này vô nghiệm.

• Với 4 x > , ta có phương trình ( ) 2 2 3 5 4 1 7 x x x x x x Û - + - + = + Û = (loại)

Vậy phương trình đã cho có duy nhất nghiệm 3 7 x = .

d) Ta có phương trình ( ) 2

3

3 1 1 12 3

x

x x x x

ì ³ ïïïíï - + + - = - ïïî

( ) 2 2

3 3 1 1 12 3 14

3

36 0

x x x x x x x x

ì ³ ïï Û íï + = ïî

ì ³ ïï Û íï - + + - = - - ïî

DeThi.edu.vn

3

7 13 7 13

x

x x

ì ³ ïï Û Û = ± íï = ± ïî

Vậy phương trình có nghiệm là 7 13 x = ± .

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau a) 2 1 1 x x x - - ³ - b) 2 2 3 2 3 2 x x x x - + + < - +

c) ( ) 2 2 2 3 2 3 2 6 2 x x x - + - £ - d) 2 2 5 3 1 2 x x x x - + - - > - .

Lời giải:

a) Với 1 x < ta có 0, 0 VT VP ³ < suy bất phương trình nghiệm đúng với mọi 1 x <

Với 1 x ³ ta có bất phương trình tương đương với

2 2

2 2

1 1

1 1 2 0

1 1 2 0

x x

x x x x x

x x x x

ì ì ³ ³ ï ï ï ï ï ï ï ï é é Û - - ³ - - ³ í í ê ê ï ï ï ï ê ê ï ï - - £ - - £ ê ê ë ë ï ï î î

1 1 2 2 2 0 1 2 2 2 2

x x x x x x x x x

ì ³ ïï ì ³ ï ï ï ï é é ³ ³ ï ï ï ï ê ê é ³ Û Û Û í í ê ê ê £ ï ï £ £ ê ï ï ê ê ë ï ï £ ê ê ï ï ë î ï - £ £ êë ïî

Vậy nghiệm của bất phương trình là ( ; 2] [2; ) x Î - ¥ È + ¥

b) Với 2 3 2 0 1 2 x x x - + < Û < < ta có 0, 0 VT VP ³ < suy ra bất phương trình vô nghiệm

Với ta có 2 2 3 2 0 1 x x x x

é ³ ê - + ³ Û ê £ ë

Bất phương trình tương đương với ( ) 2 2 2 3 2 3 2 3 2 x x x x x x - - + < - …