Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 1 Vectơ - Bài 2 Tổng và hiệu hai vectơ

§2 TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Tổng hai vectơ

a) Định nghĩa: Cho hai vectơ ; a b r r

. Từ điểm A

tùy ý vẽ AB a = uuur r

rồi từ B

vẽ BC b = uuur r

khi đó vectơ AC

uuur

được gọi là tổng

của hai vectơ ; a b r r

.

Kí hiệu AC a b = + uuur r r

(Hình 1.9)

b) Tính chất :

+ Giao hoán : a b b a + = + r r r r

+ Kết hợp : ( ) ( ) a b c a b c + + = + + r r r r r r

+ Tính chất vectơ – không: 0 , a a a + = " r r r r

2. Hiệu hai vectơ a) Vectơ đối của một vectơ.

Vectơ đối của vectơ a

r

là vectơ ngược hướng và cúng độ dài với vectơ a

r

Kí hiệu a -

r

Như vậy ( ) 0, a a a + - = " r r r r

và AB BA = - uuur uuur

b) Định nghĩa hiệu hai vectơ:

Hiệu của hai vectơ a

r

và b

r

là tổng của vectơ a

r

và vectơ đối của vectơ b

r

. Kí hiệu là ( ) a b a b - = + - r r r r

3. Các quy tắc:

Quy tắc ba điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB BC AC + = uuur uuur uuur

Quy tắc hình bình hành : Nếu ABCD là hình bình hành thì AB AD AC + = uuur uuur uuur

Quy tắc về hiệu vectơ : Cho O , A , B tùy ý ta có : OB OA AB - = uuur uuur uuur

Chú ý: Ta có thể mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm 1 2 , ,..., n A A A thì

1 2 2 3 1 1 ... n n n A A A A A A A A - + + + = uuuuur uuuuur uuuuuuur uuuuur

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG 1: Xác định độ dài tổng, hiệu của các vectơ. 1. Phương pháp giải.

Để xác định độ dài tổng hiệu của các vectơ • Trước tiên sử dụng định nghĩa về tổng, hiệu hai vectơ và các tính chất, quy tắc để xác định định phép toán vectơ đó. • Dựa vào tính chất của hình, sử dụng định lí Pitago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để xác định độ dài vectơ đó. 2. Các ví dụ.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có · 0 30 ABC = và 5 BC a = .

Tính độ dài của các vectơ AB AC + uuur uuur

. A. 2 a B. 5 a C. 7 a D. 3 a Lời giải: (hình 1.10) Theo quy tắc ba điểm ta có

• AB BC AC + = uuur uuur uuur

Mà · sin AC ABC BC =

B

A C

D

Hình 1.10

b

r b

r

a

r a

r

A

B

C a b + r r

Hình 1.9

DeThi.edu.vn

· 0 5 .sin 5.sin 30 2 a AC BC ABC a Þ = = =

Do đó 5 2 a AB BC AC AC + = = = uuur uuur uuur

• AC BC AC CB AB - = + = uuur uuur uuur uur uuur

Ta có

2 2 2 2 2 2 2 5 15 5 4 2 a a AC AB BC AB BC AC a + = Þ = - = - =

Vì vậy 15 2 a AC BC AB AB - = = = uuur uuur uuur

• Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành.

Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có AB AC AD + = uuur uuur uuur

Vì tam giác ABC vuông ở A nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật suy ra 5 AD BC a = =

Vậy 5 AB AC AD a + = = = uuur

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD có tâm là O và cạnh a . M là một điểm bất kỳ.

a) Tính , , AB AD OA CB CD DA + - - uuur uuur uuur uur uuur uuur

A. 2 AB AD a + = uuur uuur

B. OA CB a - = uuur uur

C. 2 CD DA a - = uuur uuur

D.Cả A, B, C đều đúng

b) Chứng minh rằng u MA MB MC MD = + - - r uuur uuur uuur uuuur

không phụ thuộc vị trí điểm M . Tính độ dài vectơ u

r

A.2a B.3a C.a D.4a Lời giải: (hình 1.11)

a) + Theo quy tắc hình bình hành ta có AB AD AC + = uuur uuur uuur

Suy ra AB AD AC + = = uuur

.

Áp dụng định lí Pitago ta có 2 2 2 2 2 2 AC AB BC a AC a = + = Þ =

Vậy 2 AB AD a + = uuur uuur

+ Vì O là tâm của hình vuông nên OA CO = uuur uuur

suy ra

OA CB CO CB BC - = - = uuur uur uuur uur uuur

Vậy OA CB BC a - = = uuur uuur uur

+ Do ABCD là hình vuông nên CD BA = uuur uuur

suy ra

CD DA BA AD BD - = + = uuur

Mà 2 2 2 BD BD AB AD a = = + = uuur

suy ra 2 CD DA a - = uuur uuur

b) Theo quy tắc phép trừ ta có

( ) ( ) u MA MC MB MD CA DB = - + - = + r uuur uuur uuur uuuur uuur uuur

Suy ra u

r

không phụ thuộc vị trí điểm M . Qua A kẻ đường thẳng song song với DB cắt BC tại ' C .

Khi đó tứ giác ' ADBC là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song) suy ra ' DB AC = uuur uuuur

Do đó ' ' u CA AC CC = + = r uuur uuuur uuur

Vì vậy ' ' 2 u CC BC BC a a a = = + = + = r uuur

3. Bài tập luyện tập.

O

A

D

B

C

C'

Hình 1.11

DeThi.edu.vn