Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 1 Vectơ - Bài 3 Tích của một vectơ với một số

§3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa: Tích của vectơ a

r

với số thực 0 k ¹ là một vectơ, kí hiệu là ka

r

, cùng hướng với cùng

hướng với a

r

nếu 0 k > , ngược hướng với a

r

nếu 0 k < và có độ dài bằng k a

r

Quy ước: 0 0 a = r r

và 0 0 k =

r r

2. Tính chất :

i) ( ) ii) ( )

0 iii) ( ) ( ) iv) 0

0

v) 1 , ( 1)

k m a ka ma k a b ka kb

k k ma km a ka

a

a a a a

+ = + ± = ± é = ê = = Û ê = êë = - = -

r r r r r r r

r r r r

r r

r r r r

3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

• b r

cùng phương a

r

( 0 a ¹ r r

) khi và chỉ khi có số k thỏa b ka = r r

• Điều kiện cần và đủ để , , A B C thẳng hàng là có số k sao cho AB kAC = uuur uuur

4. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.

Cho a

r

không cùng phương b

r

. Với mọi vectơ x

r

luôn được biểu diễn x ma nb = + r r r

với , m n là các số

thực duy nhất.

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG 1: Dựng và tính độ dài vectơ chứa tích một vectơ với một số. 1. Phương pháp giải.

Sử dụng định nghĩa tích của một vectơ với một số và các quy tắc về phép toán vectơ để dựng vectơ chứa tích một vectơ với một số, kết hợp với các định lí pitago và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài của chúng.

2. Các ví dụ.

Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a . điểm M là trung điểm BC . tính độ dài của chúng.

a) 1

2 CB MA + uur uuur

A.a B.2a C.3a D.4a

b) 1 2 BA BC - uuur uuur

A. 3 4 a B. 3 2 a C. 3 5 a D. 3 6 a

c) 1 2 2 AB AC + uuur uuur

DeThi.edu.vn

A. 21 3 a B. 21 2 a C. 21 4 a D. 21 7 a

d) 3 2,5 4 MA MB - uuur uuur

A. 127 4 a B. 127 8 a C. 127 3 a D. 127 2 a

Lời giải:

(Hình 1.14)

a) Do 1

2 CB CM = uur uuur

suy ra theo quy tắc ba điểm

ta có

1 2 CB MA CM MA CA + = + = uur uuur uuur uuur uuur

Vậy 1

2 CB MA CA a + = = uur uuur

b) Vì 1

2 BC BM = uuur uuur

nên theo quy tắc trừ ta có 1 2 BA BC BA BM MA - = - = uuur uuur uuur uuur uuur

Theo định lí Pitago ta có

2 2 2 2 3 2 2 a a MA AB BM a

æ ö÷ ç = - = - = ÷ ç ÷ ç ÷ è ø

Vậy 1 3 2 2 a BA BC MA - = = uuur uuur

c) Gọi N là trung điểm AB, Q là điểm đối xứng của A qua C và P là đỉnh của hình bình hành

AQPN .

Khi đó ta có 1 , 2 2 AB AN AC AQ = = uuur uuur uuur uuur

suy ra theo quy tắc hình bình hành ta có

1 2 2 AB AC AN AQ AP + = + = uuur

Gọi L là hình chiếu của A lên QN

Vì · · · 0 / / 60 MN AC ANL MNB CAB Þ = = =

N

M

A

C

B

Q

P

H

L

K

Hình 1.14

DeThi.edu.vn

Xét tam giác vuông ANL ta có · · 0 3 sin .sin sin60 2 4 AL a a ANL AL AN ANL AN = Þ = = =

· · 0 cos .cos cos60 2 4 NL a a ANL NL AN ANL AN = Þ = = =

Ta lại có 9 2 4 4 a a AQ PN PL PN NL AQ NL a = Þ = + = + = + =

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác ALP ta có

2 2 2 2 2 2 3 81 21 21 16 16 4 2 a a a a AP AL PL AP = + = + = Þ =

Vậy 1 21 2 2 2 a AB AC AP + = = uuur uuur

d) Gọi K là điểm nằm trên đoạn AM sao cho 3 4 MK MA = , H thuộc tia MB sao cho 2,5 MH MB = .

Khi đó 3 , 2,5 4 MA MK MB MH = = uuur uuur uuur uuuur

Do đó 3 2,5 4 MA MB MK MH HK - = - = uuur uuur uuur uuuur uuur

Ta có 3 3 3 3 3 . 4 4 2 8 a a MK AM = = = , 5 2,5 2,5. 2 4 a a MH MB = = =

Áp dụng định lí Pitago cho tam tam giác vuông KMH ta có

2 2 2 2 25 27 127 16 64 8 a a a KH MH MK = + = + =

Vậy 3 127 2,5 4 8 a MA MB KH - = = uuur uuur

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a .

a) Chứng minh rằng 4 3 2 u MA MB MC MD = - + - r uuur uuur uuur uuuur

không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

b) Tính độ dài vectơ u

r

A. 5 u a = r

B. 1 5 2 u a = r

C. 3 5 u a = r

D. 2 5 u a = r

Lời giải:

(Hình 1.15)

a) Gọi O là tâm hình vuông.

A B

A'

DeThi.edu.vn