Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 2 Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng - Bài 1 Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180

CHƯƠNG II

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

§1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ

TỪ 0 0 ĐẾN 0 180 A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy .Với mỗi góc ( ) 0 0 0 180 a a £ £ , ta xác

định điểm M trên trên đường nửa đường tròn đơn vị tâm O sao cho ·xOM a = . Giả sử điểm M có tọa độ ( ) ;x y .

Khi đó:

0 0 0 sin ; cos x;tan ( 90 ); cot ( 0 , 180 ) y x y x y a a a a a a a = = = ¹ = ¹ ¹

Các số sin ,cos ,tan ,cot a a a b được gọi là giá trị lượng giác của góc a .

Chú ý: Từ định nghĩa ta có:

• Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox, Oy khi đó ( ) ; M OP OQ .

• Với 0 0 0 180 a £ £ ta có 0 sin 1; 1 cos 1 a a £ £ - £ £

• Dấu của giá trị lượng giác: Góc a 0 0 0 90 0 180 sina + + cosa + - tana + - cota + - 2. Tính chất

• Góc phụ nhau • Góc bù nhau

0

0

0

0

sin(90 ) cos

cos(90 ) sin

tan(90 ) cot

cot(90 ) tan

a a

a a

a a

a a

- =

- =

- =

- =

0

0

0

0

sin(180 ) sin

cos(180 ) cos

tan(180 ) tan

cot(180 ) cot

a a

a a

a a

a a

- =

- = -

- = -

- = - 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Góc

a

00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800

sina

0 1 2

2 2

3 2

1 3 2

2 2

1 2 0

cosa

1 3 2

2 2

1 2 0 1 2 - 2 2 - 3 2 - –1

tana

0 3 3

1 3  3 - 1 - ( )

2 2 2 AB EF AB EF + = + uuur uur

0

cota  3 1 3 3

0 3 3 - 1 - 3 - 

x

y

P O

M(x;y) Q

Hình 2.1

DeThi.edu.vn

4. Các hệ thức lượng giác cơ bản

0

0 0

0 0 0

2 2

2 0 2

2 0 0 2

sin 1) tan ( 90 ) ; cos cos 2) cot ( 0 ; 180 ) sin 3) tan .cot 1 ( 0 ; 90 ; 180 )

4) sin cos 1

1 5) 1 tan ( 90 ) cos

1 6) 1 cot ( 0 ; 180 ) sin

a a a a a a a a a a a

a a

a a a

a a a

= ¹

= ¹

= ¹

+ =

+ = ¹

+ = ¹

Chứng minh: - Hệ thức 1), 2) và 3) dễ dàng suy ra từ định nghĩa. - Ta có sin , cos OQ OP a a = =

Suy ra

2 2 2 2 2 2 sin cos OQ OP OQ OP a a + = + = +

+ Nếu 0 0 0 , 90 a a = = hoặc 0 180 a = thì dễ dàng thấy 2 2 sin cos 1 a a + =

+ Nếu 0 0 0 , 90 a a ¹ ¹ và 0 180 a ¹ khi đó theo định lý Pitago ta có

2 2 2 2 2 2 2 sin cos 1 OQ OP OQ QM OM a a + = + = + = =

Vậy ta có 2 2 sin cos 1 a a + =

Mặt khác

2 2 2 2

2 2 2 sin cos sin 1 1 tan 1

cos cos cos a a a a

a a a + + = + = = suy ra được 5)

Tương tự

2 2 2 2

2 2 2 cos sin cos 1 1 cot 1

sin sin sin a a a a

a a a + + = + = = suy ra được 6)

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG 1 : Xác định giá trị lượng giác của góc đặc biệt. 1. Phương pháp giải.

• Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc • Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt • Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản 2. Các ví dụ.

Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) 2 0 2 0 2 0 sin90 cos90 cos180 A a b c = + +

A. 2 2 2 A a c = - B. 2 2 2 A a c = - C. 2 2 3 A a c = - D. 2 2 A a c = -

b) 2 0 2 0 2 0 3 sin 90 2cos 60 3tan 45 B = - + -

A. 2 B = B. 3 B = C. 1 B = D. 0 B =

c) 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 sin 45 2sin 50 3cos 45 2sin 40 4tan 55 .tan 35 C = - + - +

A. 3 C = B. 4 C = C. 2 C = D. 1 C =

Lời giải:

DeThi.edu.vn

a) ( ) 2 2 2 2 2 .1 .0 . 1 A a b c a c = + + - = -

b) ( )

2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 2 B

æ ö æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç = - + - = ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø

c) ( ) 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 sin 45 3cos 45 2 sin 50 sin 40 4tan 55 .cot 55 C = + - + +

( )

2 2

2 0 2 0 2 2 1 3 3 2 sin 50 cos 40 4 2 4 4 2 2 2 2 C

æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç = + - + + = + - + = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ è ø è ø

Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) 2 0 2 0 2 0 2 0 sin 3 sin 15 sin 75 sin 87 A = + + +

A.2 B.3 C.4 D.1

b) 0 0 0 0 0 cos0 cos20 cos40 ... cos160 cos180 B = + + + + +

A.2 B.3 C.4 D.0

c) 0 0 0 0 0 tan 5 tan10 tan15 ...tan80 tan85 C =

A.1 B.3 C.4 D.0

Lời giải:

a) ( ) ( ) 2 0 2 0 2 0 2 0 sin 3 sin 87 sin 15 sin 75 A = + + +

( ) ( ) 2 0 2 0 2 0 2 0 sin 3 cos 3 sin 15 cos 15

1 1 2

= + + +

= + =

b) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 cos0 cos180 cos20 cos160 ... cos80 cos100 B = + + + + + +

( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 cos0 cos0 cos20 cos20 ... cos80 cos80

0

= - + - + + -

=

c) ( )( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 tan 5 tan85 tan15 tan75 ... tan 45 tan 45 C =

( )( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 tan 5 cot 5 …