Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 3 Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng - Bài 7 Đường parabol

§7. ĐƯỜNG PARABOL

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa: Cho điểm cố định F và đường thẳng cố định  không đi qua F. Parabol(P) là tập hợp các điểm M cách đều điểm F và đường thẳng .

Điểm F gọi là tiêu điểm của parabol.

Đường thẳng  được gọi là đường chuẩn của parabol

( ) ; p d F = D được gọi là tham số tiêu của parabol.

2.Phương trình chính tắc của parabol:

Với ;0 2 p F

æ ö÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ çè ø

và ( ) : 0 2 p x p D = - >

( ) ( )

2 ; 2 M x y P y px Î Û = (3)

(3) được gọi là phương trình chính tắc của parabol

3.Hình dạng và tính chất của parabol:

+ Tiêu điểm ;0 2 p F

æ ö÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ çè ø

+ Phương trình đường chuẩn: : 2 p x D = -

+ Gốc tọa độ O được gọi là đỉnh của parabol

+ Ox được gọi là trục đối xứng

+ ( ) ; M M M x y thuộc (P) thì: ( ) ; 2 M

p MF d M x = D = +

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG 1. Xác định các yếu tố của parabol khi biết phương trình chính tắc.

1.Phương pháp giải.

Từ phương trình chính tắc của parabol ta xác định các đại lượng p từ đó ta suy ra được các yếu tố

cần tìm.

2. Các ví dụ.

Ví dụ 1. Cho parabol (P) có phương trình 2 4 y x =

a) Tìm tiêu điểm

A. ( ) 2;0 F B. ( ) 3;0 F C. ( ) 4;0 F D. ( ) 1;0 F

b) Đường chuẩn của (P).

A. 2 1 0 x+ = B. 3 1 0 x+ = C. 4 1 0 x+ = D. 1 0 x+ =

Lời giải:

Từ phương trình của (P) có 2 4 p = nên 2 p =

x

y

P O F

M K ( ) ; x y

Hình 3.5

DeThi.edu.vn

Suy ra (P) có tiêu điểm là ( ) 1;0 F và đường chuẩn là 1 0 x+ = .

DẠNG 2. Viết phương trình chính tắc của (E), (H), (P).

1. Phương pháp giải.

Ta thiết lập phương trình từ giải thiết của bài toán để tìm p của parabol từ đó viết được phương trình

chính tắc của nó.

2. Các ví dụ.

Ví dụ 1. Viết phương trình chính tắc của parabol (P)

a) (P) có tiêu điểm là ( ) 0;5 F

A. 2 5 y x = B. 2 10 y x = C. 2 30 y x = D. 2 20 y x =

b) Khoảng cách từ tiêu điểm F đến đường thẳng : 12 0 x y D + - = là 2 2

A. 2 32 y x = B. 2 64 y x =

C. 2 32 y x = hoặc 2 64 y x = D. 2 16 y x = hoặc 2 64 y x =

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là: 2 2 y px =

a) Do tọa độ tiêu điểm ( ) 0;5 F nên 5 10 2 p p = Þ =

Vậy phương trình của (P) : 2 20 y x =

b) Ta có tọa độ tiêu điểm ;0 2 p F

æ ö÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ çè ø

Khoảng cách từ F đến đường thẳng D bằng 2 2 nên:

( )

12 2 ; 2 2 2

p

d F

- D = = suy ra 16 p = hoặc 32 p = .

Vậy phương trình của (P): 2 32 y x = hoặc 2 64 y x =

DẠNG 3. Xác định điểm nằm trên parabol thỏa mãn điều kiện cho trước.

1. Phương pháp giải.

Để xác định tọa độ điểm M thuộc parabol có phương trình chính tắc là 2 2 y px = ta làm như sau

• Giả sử ( ) ; M M M x y , điểm ( )

2 2 M M M P y px Î Û = ta thu được phương trình thứ nhất.

• Từ điều kiện của bài toán ta thu được phương trình thứ hai; giải phương trình, hệ phương trình ẩn , M M x y ta tìm được tọa độ của điểm M

2. Các ví dụ:

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol (P): 2 8 y x = có tiêu điểm F DeThi.edu.vn

a) Tìm trên (P) điểm M cách F một khoảng là 3

A. ( ) 1;2 2 M B. ( ) 1; 2 2 M -

C. ( ) ( ) 1 2 1;2 2 , 1; 2 2 M M - D. ( ) ( ) 1 2 2;2 2 , 2; 2 2 M M -

b) Tìm điểm M trên (P) sao cho 8 OMF SD =

A. ( ) 8;8 M B. ( ) 3;8 M C. ( ) 8;3 M D. ( ) 3;3 M

c) Tìm một điểm A nằm trên parabol và một điểm B nằm trên đường thẳng : 4 3 5 0 x y D - + = sao cho

đoạn AB ngắn nhất

A. ( ) 209 153 1;3 , ; 200 50 A B

æ ö÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø

B. ( ) 9 153 2;3 , ; 8 50 A B

æ ö÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø

C. 9 209 153 ;3 , ; 8 200 50 A B æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ è ø è ø

D. ( ) 209 4;3 , ;3 200 A B

æ ö÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø

Lời giải:

a) Giả sử ( ) ( ) ; M M M x y P Î suy ra 2 8 M M y x = (*)

Từ phương trình (P) có 4 p = nên ( ) 2;0 F

Ta có 2

M p FM x = + suy ra 1 M x = kết hợp (*) ta có 2 2 M y = ±

Vậy có hai điểm thỏa mãn là ( ) ( ) 1 2 1;2 2 , 1; 2 2 M M -

b) Ta có ( )

2

; 8 a M P M a æ ö÷ ç ÷ Î Þ ç ÷ ç ÷ çè ø

với 0 a ³

( ) 1 8 . ; 8 8 2 OMF S OF d M OF a D = Û = Û =

Vậy điểm M cần tìm là ( ) 8;8 M

c) Với mọi điểm ( ), A P B Î Î D ta luôn có ( ) ; AB d A ³ D

( )

2

; 8 a A P A a æ ö÷ ç ÷ Î Þ ç ÷ ç ÷ çè ø

với 0 a ³ , …