Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT Chuyên Nguyễn Trãi môn Toán (Chuyên) - Năm học 2020-2021 - Sở giáo dục và đào tạo Hải Dương (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

phamvancat@gmail.com

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI

NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 01 trang)

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Câu 1. (2,0 điểm)

1) Tính giá trị của biểu thức:

khi

2) Chứng minh rằng: biết

Câu 2. (2,0 điểm)

1) Giải phương trình:

2) Giải hệ phương trình:

Câu 3. (2,0 điểm)

1) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

2) Tìm tất cả các số tự nhiên để đều là các số nguyên tố. Câu 4. (3,0 điểm)

1) Cho đường tròn , hai đường kính và vuông góc với nhau. Lấy là điểm bất kỳ nằm trên cung nhỏ ( không trùng với A và D). Đường thẳng EC cắt OA tại M; đường thẳng EB cắt OD tại N.

a) Chứng minh rằng: AM.ED = OM.EA;

b) Xác định vị trí điểm E để tổng đạt giá trị nhỏ nhất.

2) Cho nửa đường tròn (O) đường kính MN. Trên tia đối của tia MO lấy điểm B, Trên tia đối của tia NO lấy điểm C. Từ B và C kẻ các tiếp tuyến với nửa đường tròn (O), chúng cắt nhau tại A, tiếp điểm của nửa đường tròn (O) với BA, AC lần lượt là E, D. Kẻ AH vuông góc với BC . Chứng minh AH, BD, CE đồng quy.

Câu 5. (1,0 điểm) Cho ba số thực , , dương thỏa mãn . Chứng minh:

.........Hết.......... Họ và tên thí sinh.....................................................Số báo danh............................................ Chữ ký giám thị 1.......................................... Chữ ký giám thị 2.............................................

2 10 2 2

5 4 3 (2 6 3) (10 30 11) 3 1 x x B x x x x x         

3 5 2 x  

1 1 2 x y  

3 3 2 2 3( ) 4( ) 4 0

0

x y x y x+ y

xy

         

2 2 5 3 6 (7 1) 3 x x x x     

2 2

2 2

8 16

5 12 3 5 2

xy x y x y

x x y x x

              

2 2 x y z   

a 2 4 16 17 6 24 25 2 2 a - ; a - a+ ; a - a+

  O;R AB CD E

AD E

2

OM ON AM DN 

( )  H BC

x y z 2 1 xy yz zx xyz    

2 2 2

2 1 1 1 x y y z z x xyz x y z      

DeThi.edu.vn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

NĂM HỌC 2020-2021 MÔN : TOÁN (chuyên) (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)

Câu Đáp án Điểm

1)(1 điểm). Tính giá trị của biểu thức:

khi .

Ta có 0,25

Ta có 0,25

0,25

Vậy .

0,25

2)(1 điểm). Chứng minh rằng : biết

Ta có: x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + 4 = 0

(x + y)( x2 – xy + y2) + 2(x2 – xy + y2) + (x2 + 2xy + y2) + 4(x+y) + 4 = 0 ( x2 – xy + y2)( x + y + 2) + ( x + y + 2)2 = 0 ( x + y + 2)( x2 – xy + y2 + x + y + 2) = 0

0,25

( x + y + 2). = 0

(vì > 0)

0,25

x + y + 2 = 0 x + y = -2, mà x.y > 0 nên x < 0, y < 0 0,25

1

Áp dụng BĐT CauChy ta có

Do đó xy 1 1 -2

Mà

Vậy dấu bằng xảy ra khi

0,25

1) (1 điểm). Giải phương trình:

0,25

0,25 2

hoặc

2 10 2 2

5 4 3 (2 6 3) (10 30 11) 3 1 x x B x x x x x         

3 5 2 x  

2 2 2 3 5 (2 3) 5 4 12 4 0 3 1 0 2 x x x x x x            

2 2 10 30 11 10( 3 1) 1 10.0 1 1 x x x x       

2 2 2 2 6 3 2 6 2 1 2( 3 1) 1 2.0 1 1 x x x x x x          

5 4 3 3 2 3 1 ( 3 1) 1 0 1 1 x x x x x x        0 B 

1 1 2 x y  

3 3 2 2 3( ) 4( ) 4 0

0

x y x y x+ y

xy

         

  

 2 2 2 ( ) ( 1) ( 1) 2 x y x y          

2 2 2 ( ) ( 1) ( 1) 2 x y x y            

( ) ( ) ( ) 2 ( )( ) 1 2 2 2 x y x y x y          

   1 xy  2 xy  

1 1 2 x y M x y xy xy      

1 1 2 M x y    1 x y  

2 2 5 3 6 (7 1) 3 x x x x     

2 2 5 3 6 (7 1) 3 0 x x x x       

2 2 2 2 2( 3) ( 1) 3 3 3 6 3 0 x x x x x x x          

2 2 2 3(2 3 1) 3x(2 3 1) 0 x x x x x          

2 2 (2 3 1)( 3 3 ) 0 x x x x       

2 2 3 1 x x     2 3 3 x x  

DeThi.edu.vn