50 Đề thi vào Lớp 10 THPT môn Toán chuyên - Nguyễn Thiên Hương (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018-2019 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Ngày thi: 03/06/2018 Câu 1.

a) Giải phương trình : 2 2 4 2 5 1 x x x x      

b) Giải hệ phương trình:

2

2 2 3 4

2 7 7 8

xy y x

y y x x

        

Câu 2. a) Tìm các số nguyên ; ; x y zsao cho 2 2 2 6 3 4 x y z xy x z       b) Cho hai số nguyên dương m, n thỏa mãn 1 m n  là một ước nguyên tố của   2 2 2 1 m n  . CMR . mnlà số chính phương

Câu 3. Cho , , a b cthực dương thỏa mãn 1. abc Chứng minh rằng:

4 3 4 3 4 3 1 1 1 3 2 2 2 a a ab b b bc c c ac            

Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại A   AB AC  nội tiếp đường tròn (O) đường cao AH.

Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BD. Qua H kẻ đường thẳng song song với BD cắt AK tại I. Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) tại N (N khác B) a) Chứng minh . . AN BI DH BK  b) Tiếp tuyến của (O) tại D cắt đường thẳng BC tại P. Chứng minh đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP c) Tiếp tuyến của (O) tại C cắt DP tại M. Đường tròn qua D tiếp xúc với CM tại M và cắt OD tại Q (Q khác D). Chứng minh đường thẳng qua Q vuông góc với BM luôn đi qua điểm cố định khi BC cố định và A di động trên đường tròn (O) Câu 5 Để phục vụ cho lễ khai mạc World Cung 2018, ban tổ chức giải đấu chuẩn bị 25000 quả bóng, các quả bóng được đánh số từ 1 đến 25000. Người ta dùng 7 màu: Đỏ, Da cam, Vàng, Lục, Lam, Chàm, Tím để sơn các quả bóng (mỗi quả được sơn 1 màu). Chứng minh rằng trong 25000 quả bóng nói trên tồn tại 3 quả bóng cùng màu được đánh số là , , a b cmà a chia hết cho b, b chia hết cho c và 17 abc 

1

https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/

DeThi.edu.vn

ĐÁP ÁN Câu 1. a) Giải phương trình : 2 2 4 2 5 1 x x x x       Điều kiện xác định: 2 4 x   Ta có

  

  

 

2 2 5 3 2 1 4 1 0

3 3 2 1 3 0 2 1 4 1 1 1 3 2 1 0 2 1 4 1

1 1 1 1 0 1 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 4 1 2 4

3 0 3( )

x x x x

x x x x x x

x x x x

Do x x x x x x

x x tm

       

           

                                       

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 3 x  b) Hệ đã cho tương đương với

      

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2

2

2

2 6 8 3 4

2 7 8 8 2 7 2 6 8 0

3 4 3 4

7 1 0 8 7 0

2 13 5 13 ; 1 3 3 3 4 3 0 2 13 5 13 ; 3 3

7

3 10 21

xy y x xy y x

y y x x x y y xy y x x

xy y x xy y x

x y x y x y x y

x y x y

x x x y

x y

x x

                                                    

                      

 

  

5 2 22 26 2 22 ; 3 3 0 5 2 22 26 2 22 ; 3 3

x y

x y

                                

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm

2

https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/

DeThi.edu.vn

Câu 2 a) Do , , x y zlà các số nguyên nên

 

2 2 2

2 2 2

2 2 2

6 1 3 4

7 3 4 0

1 3 1 2 0 2 2

1 0 2 1 1 0 2 2 2 2 0

x y z xy y z

y x y z

x y x y y

z z

     

       

                  

                   

Vậy 1; 2 x y z    là 3 số nguyên cần tìm b) Giả sử m n . Theo bài ra ta có:

     

     

  

  

2

2 2 2

2 2 2 2

2

1 1 1 1

2 1 1 1

2 2 2 1

1

m n m n m n m n

m n m n m n

m n m mn n m n

m n m n

       

          

      

   

Do 1 m n   là số nguyên tố 1 m n  là ước của m n  Mà 1 m n m n   do đó vô lý Vậy giả sử sai 2 . m n mn m     là số chính phương Ta có điều phải chứng minh. Câu 3. Ta có:

      2 2 2 2

4 3 4 3

4 3

4 3

1 1 0 2 1 1 0

1 0 1

2 1 1 1 1 2

a a a a a a a

a a a a a a

a a ab ab a

ab a a a ab

         

      

      

      

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có:

3

https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/

DeThi.edu.vn