Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2018-2019 - Trường THPT Chuyên Lam Sơn (Có đáp án)

Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Trang 1 GV Lưu Văn Thám soạn

ĐỀ SỐ T.65 : CHUYÊN TOÁN LAM SƠN – THANH HÓA 18-19

Câu I (2.0 điểm).

1/ Tính giá trị biểu thức 1 1 1 1 1 ... 1 1 2 1 2 3 1 2 .. 2018 P      = − − −      + + + + + +     

2/ Cho a, b là hai số thực lần lượt thỏa mãn các hệ thức

3 2 3 5 17 0 a a a − + − = và

3 2 3 5 11 0 b b b − + + = . Chứng minh a + b = 2 Câu II (2.0 điểm). 1/ Giải phương trình : ( ) 2 4 2 1 1 x x x x −− = − −

2/ Giải hệ phương trình :

2 2

2 2

1 1 1

1 1 2

x y

x y xy

 + =   −+ −= + 

Câu III (2.0 điểm). 1/ Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y thỏa mãn :

2019 2019 1346 673 2 x y y y = − − + 2/ Cho n là số nguyên dương tùy ý , với mỗi số nguyên dương k, đặt

1 2 ... k k k k S n = + + + . Chứng minh 2019 S chia hết cho 1S Câu IV (3.0 điểm).

Cho tam giác nhọn ABC có Ab < AC . Gọi D, E, F lần lượt kẻ từ A, B, C của tam giác , P là giao điểm của đường thẳng BC và EF. Đường thẳng qua D và song song với EF lần lượt cắt các đường thẳng AB, AC, CF tại Q, R, S 1/ Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp

2/ Chứng minh PB DB PC DC = và D là trung điểm của đoạn thẳng QS

3/ Khi B, C cố định, điểm A thay đổi nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện trên,

chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định. Câu V (1.0 điểm).

Trong một giải đấu thể thao có n đội tham gia ( n N, n  2), luật đấu như sau : Hai đội bất kỳ luôn đấu với nhau đúng một trận, sau mỗi một trận, đội thắng được 2 điểm, đội thua được 0 điểm ; còn nếu hai đội hòa thì mỗi đội được 1 điểm . Sau giải đấu các đội xếp hạng theo điểm số từ cao xuống thấp (Hai đội bằng điểm nhau xếp cùng hạng) . Hỏi sự chênh lệch về điểm lớn nhất có thể giữa các đội xếp hạng liền nhau là bao nhiêu ?

-------------

DeThi.edu.vn

Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Trang 2 GV Lưu Văn Thám soạn

BÀI GIẢI ĐỀ SỐ T.65 : LAM SƠN – THANH HÓA 18-19

(GV Lưu Văn Thám – Trường 218 thực hiện)

Câu I (2.0 điểm).

1/ Tính giá trị biểu thức 1 1 1 1 1 ... 1 1 2 1 2 3 1 2 .. 2018 P      = − − −      + + + + + +     

n N, n ≥ 2 ta có :

1 + 2 +..+ n =

2 n(n 1) 1 2 n n 2 (n 1)(n 2) 1 1 2 1 2 .. n n(n 1) n(n 1) n(n 1) − + − − + − = − = = + + + + + +

Áp dụng cho n từ 2 tới 2018, ta có:

1.4 2.5 3.6 2017.2020 1.2.3....2017 4.5.6....2020 1.2020 1010 P . . .... . 2.3 3.4 4.5 2018.2019 2.3.4....2018 3.4.5....2019 3.2018 3027 = = = =

2/ Cho a, b là hai số thực lần lượt thỏa mãn các hệ thức

3 2 3 5 17 0 a a a − + − = và

3 2 3 5 11 0 b b b − + + = . Chứng minh a + b = 2 Đặt a = 2 –c, ta có:

0 = a3 – 3a2 + 5a – 17 = (2 – c)3 – 3(2 – c)2 + 5(2 – c) – 17 = 8 – 12c + 6c2 – c3 – 12 + 12c – 3c2 + 10 – 5c – 17 = – (c3 – 3c2 + 5c + 11)  c3 – 3c2 + 5c + 11 = 0 = b3 – 3b2 + 5b + 11  (c3 – b3) – 3(c2 – b2)+ 5(c – b) = 0  (c – b)(c2 + cb + b2 – 3c – 3b + 5) = 0

Do 4(c2 + cb + b2 – 3c – 3b + 5)= 4c2 + 4c(b – 3) + 4b2 – 12b + 20 = (2c + b – 3)2 + 3(b – 1)2 + 8 > 0  (c2 + cb + b2 – 3c – 3b + 5) > 0  c – b = 0  c = b Vậy a = 2 – b  a = b = 2 (đpcm) Câu II (2.0 điểm). 1/ Giải phương trình : ( ) 2 4 2 1 1 x x x x −− = − − (1). ĐK x ≥ 1

Đặt t = x 1 − ≥ 0  x2 – x – 4 = (x – 1)2 + (x – 1) – 4 = t4 + t2 – 4 Phương trình thành: t4 + t2 – 4 = – 2t2.t  t4 + 2t3 + t2 – 4 = 0  t4 – t3 + 3t3 – 3t2 + 4t2 – 4t + 4t – 4 = 0  (t – 1)(t3 + 3t2 + 4t + 4) = 0  t = 1 ( do t ≥ 0  t3 + 3t2 + 4t + 4 > 0). Vậy ta có:

x 1 − = 1  x = 2. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là 2.

DeThi.edu.vn