Bài tập ôn thi tuyển sinh Lớp 10 môn Hình học (Có lời giải)

N I

F K

E

D

H

B

A

O M

C

Bài toán: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) (OM>2R) vẽ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B là 2 tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OM và AB. Lấy điểm C thuộc đoạn HB. Đường thẳng MC cắt (O) tại D và E (D nằm giữa M và E) a/.Chứng minh: AD.BE=AE.BD b/. Chứng minh tứ giác OHDE nội tiếp và CD.ME=CE.MD c/.Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD. Chứng minh: KD là tiếp tuyến của (O) d/.Vẽ đường kính BF của (O). Đường thẳng MO cắt FD, EF lần lượt tại I và N. Chứng minh: O là trung điểm IN

a) + Chứng minh được tam giác MDB và tam giác MEB đồng dạng . Suy ra:

+ Tương tự: tam giác MAD và tam giác MEA đồng dạng . Suy ra:

+ Kết hợp với MA = MB (t/c hai t/t cắt nhau) ta được:

b) Chứng minh: Tứ giác OHDE nội tiếp và CD.ME=CE.MD *Chứng minh: Tứ giác OHDE nội tiếp + Chứng minh được MA2 = MD. ME và MA2 = MH. MO (bài toán quen thuộc)

Suy ra MH.MO = MD. ME =>

+ Hai tam giác MHD và MEO có: và góc M chung nên chúng đồng dạng

Suy ra: . Vậy OHDE là tứ giác nội tiếp

* Chứng minh :CD.ME = CE.MD

+ Chú ý (cùng bù góc DHO) ; (do t giác ODE cân tại O),

(cùng chắn cung OE) nên . Mà nên => HC là phân giac trong của tam giác DHE. Lại có HM HC nên HM là phân giác ngoài của tam giác DHE Theo t/c của đường p/g trong và p/g ngoài ta có:

BD MB EB ME 

AD MA EA ME 

. . BD AD BD EA EB AD EB EA   

MH MD ME MO 

MH MD ME MO  · · MHD OED 

· · MHD DEO  · · ODE DEO  · · ODE OHE  · · MHD OHE  · · · · 0 90 MHD HDB OHE BHE     · · HDB BHE  

. . CD HD MD CD ME CE MD CE HE ME    

DeThi.edu.vn

N I

F K

E

D

H

B

A

O M

C

c).Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD. Chứng minh: KD là tiếp tuyến của (O) + Tam giác MHD và tam giác EHO có (chứng minh trên) và (do cùng bù ) nên . Mà (cùng chắn cung OH) nên => DO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD => OK OD tại D thuộc (O) => KD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

d)Vẽ đường kính BF của (O). Đường thẳng MO cắt FD, EF lần lượt tại I và N. CM: O là trung điểm IN * Cần chứng minh vì đã có OF = OB và (đối đỉnh) ,

Vậy cần cm BI // FN + (góc nội tiếp chắn nửa đ tròn) và (do AB vuông góc MO) => DIHB là tứ giác nội tiếp => (cùng chắn cung BD)

Mà (chứng minh trên) và nên

Lại có: (quan hệ góc ở tâm và ……..)

Do đó => IB // FN => (so le trong)

+ (vì OF = OB và (đối đỉnh) , ) => OI = ON

· · MHD OHE  · · MDH HOE  ãHDO · · HMD OEH  · · OEH HDO  · · HDO HMD  

  . . OFN OBI c g c   · · FON BOI  · · OFN OBI 

· 0 90 FDB  · 0 90 IHB  · · 0 180 FDB IHB    · · DIB DHB  · · DHB BHE  · · · 1 1 2 2 DIB DHE DOE  

· · 1 2 DFE DOE 

· · DIB DFN  · · IBO OFN 

OFN OBI   · · FON BOI  · · OFN OBI 

DeThi.edu.vn