3 Đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên môn Toán Nghệ An, Hà Nam, Thanh Hoá (Có đáp án)

1

3 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN:

NGHỆ AN, HÀ NAM, THANH HOÁ

Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1: (3.5 điểm)

a) Giải phương trình

3 3 2 7 3 x x     b) Giải hệ phương trình

3

3

8 2 3

6 2

x y

x y

       Bài 2: (1.0 điểm)

Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên

2 2 0 x ax a     .

Bài 3: (2.0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác trong BE (E thuộc AC). Đường tròn đường kính AB cắt BE, BC lần lượt tại M, N (khác B). Đường thẳng AM cắt BC tại K. Chứng minh: AE.AN = AM.AK.

Bài 4: (1.5 điểm)

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh BC. Đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N khác C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I và K. Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành.

Bài 5: (2.0 điểm) a) Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC. b) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

2 2 2 ab bc ca P a b c a b b c c a        

----------------------------------------Hết----------------------------------------

Họ và tên thí sinh …………………………………..……….. SBD……………..

* Thí sinh không được sử dụng tài liệu. * Giám thị không giải thích gì thêm.

SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO

NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU

Năm học 2009 - 2010

Đề thi chính thức

DeThi.edu.vn

2

SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO

NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU

Năm học 2009 - 2010 Hướng dẫn chấm thi Bản hướng dẫn chấm gồm 03 trang

Nội dung đáp án Điểm Bài 1 3,5 đ a 2,0đ 3 3 x 2 7 x 3    

  3 3 3 3 x 2 7 x 3 x 2. 7 x x 2 7 x 27            0.50đ

3 9 9. (x 2)(7 x) 27      0.25đ

3 (x 2)(7 x) 2      0.25đ (x 2)(7 x) 8     0.25đ

2 x 5x 6 0     0.25đ x 1 x 6     

( thỏa mãn ) 0.50đ

b 1,50đ

Đặt 2 z y  0.25đ

Hệ đã cho trở thành

3

3 2 3x z

2 3z x

    

0.25đ

 

3 3 3 x z z x     0,25đ

   2 2 x z x xz z 3 0       0,25đ x z   (vì 2 2 x xz z 3 0, x,z      ). 0,25đ

Từ đó ta có phương trình: 3 x 1 x 3x 2 0 x 2         Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm:   (x,y) ( 1; 2), 2,1 

0,25đ

Bài 2: 1,0 đ Điều kiện để phương trình có nghiệm: 2 0 a 4a 8 0      (*). 0,25đ Gọi x1, x2 là 2 nghiệm nguyên của phương trình đã cho ( giả sử x1 ≥ x2).

Theo định lý Viet: 1 2

1 2 1 2 1 2

x x a x .x x x 2 x .x a 2

          

0,25đ

1 2 (x 1)(x 1) 3    

1

2

x 1 3

x 1 1

    

hoặc 1

2

x 1 1

x 1 3

    

(do x1 - 1 ≥ x2 -1)

0,25đ

DeThi.edu.vn

3

1

2

x 4

x 2

    

hoặc 1

2

x 0

x 2

     Suy ra a = 6 hoặc a = -2 (thỏa mãn (*) ) Thử lại ta thấy a = 6, a = -2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0,25đ Bài 3: 2,0 đ Vì BE là phân giác ·ABC nên · · ¼ ¼ ABM MBC AM MN    0,25đ · · MAE MAN   (1) 0,50đ Vì M, N thuộc đường tròn đường kính AB nên · · 0 AMB ANB 90   0,25đ

 · · 0 ANK AME 90   , kết hợp với (1) ta có tam giác AME đồng dạng với tam giác ANK

0,50đ

AN AK AM AE   0,25đ

 AN.AE = AM.AK (đpcm) 0,25đ Bài 4: 1,5 đ Vì tứ giác AMIN nội tiếp nên · · ANM AIM  Vì tứ giác BMNC nội tiếp nên · · ANM ABC  · · AIM ABC   .Suy ra tứ giác BOIM nội tiếp

0,25đ

Từ chứng minh trên suy ra tam giác AMI đồng dạng với tam giác AOB

AM AI AI.AO AM.AB AO AB     (1)

0,25đ

Gọi E, F là giao điểm của đường thẳng AO với (O) (E nằm giữa A, O). Chứng minh tương tự (1) ta được: AM.AB = AE.AF = (AO - R)(AO + R) (với BC = 2R)

= AO2 - R2 = 3R2

0,25đ

 AI.AO = 3R2

2 2 3R 3R 3R R AI OI AO 2R 2 2       (2) 0,25đ

Tam giác AOB và tam giác COK đồng dạng nên:

OA.OK = OB.OC = R2

2 2 R R R OK OA 2R 2     (3)

0,25đ

Từ (2), (3) suy ra OI = OK …