Đề thi tuyển chọn học sinh giỏi môn Toán Khối 9 (Có đáp án)

Đề thi tuyển chọn học sinh giỏi khối 9

Đề thi có 2 trang Thời gian làm bài: 180 phút (Thang điểm 20)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 1. (2,5 Đ) Cho phương trình x2 – 2x + m – 1 = 0 (m là tham số). Tìm m sao cho

phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 sao cho:

1/ Biểu thức A =

𝒙𝟏

𝟐−𝟐𝒙𝟐 𝒙𝟏+𝟐𝒙𝟐−𝟏+

𝒙𝟐

𝟐−𝟐𝒙𝟏 𝒙𝟐+𝟐𝒙𝟏−𝟏 có giá trị nguyên

2/ –6 < x1 < 2 < 4 < x2 < 8

3/ (𝟐𝒙𝟏−𝒙𝟐)𝟓−(𝒙𝟏+ 𝟑𝒙𝟐+ 𝟏)𝟑= (𝟐𝒙𝟐−𝒙𝟏)𝟓−(𝒙𝟐+ 𝟑𝒙𝟏+ 𝟏)𝟑

Câu 2. (2Đ) 1/ Cho x, y, z > 0 và

√𝒙.(√𝒚−√𝒛)

𝟑+√𝒚.(√𝒛−√𝒙)

𝟑+√𝒛.(√𝒙−√𝒚)

𝟑

(√𝒚−√𝒛)

𝟑+(√𝒛−√𝒙)

𝟑+(√𝒙−√𝒚)

𝟑 =

𝟏

𝟑

Biết rằng x, y, z đôi một khác nhau. Chứng minh:

𝟐

𝒙+𝒚+𝒛+

𝟑

√𝒙𝒚+√𝒙𝒛+√𝒛𝒙 > 14

2/ Rút gọn biểu thức A =

(𝟐√𝟐 + 𝟏).√𝟏𝟏 − 𝟑√𝟑

√𝟒𝟖√𝟑 + 𝟏𝟐 −

(√𝟏𝟏 − 𝟒√𝟔 − 𝟐).√𝟓 + 𝟑√𝟑

√𝟕𝟑 − 𝟓√𝟏𝟗𝟐 − √𝟕𝟑 + 𝟑√𝟑𝟐

Câu 3. (2Đ) 1/ Hãy tìm tất cả số tự nhiên x, y để 𝒙𝟐+ 𝟓𝒚 là số chính phương

2/ Tìm các số nguyên tố p sao cho 13p + 1 bằng lập phương của một số tự nhiên.

3/ Giải và biện luận phương trình √𝒙𝟐−𝟐𝒂𝒙+ 𝒂𝟐+ √𝒙𝟐−𝟒𝒙+ 𝟒= 𝒃+ 𝟑

.Trong đó a và b là các tham số bất kì

Câu 4. (2,5 Đ) 1/ Giải phương trình √𝒙+ 𝟒. √(𝟑−𝒙). (𝒙+ 𝟕)

𝟒 = √𝟐𝒙+ 𝟏𝟖

2/ Giải hệ phương trình: { 𝟒𝒙𝟐+ 𝒙𝒚+ 𝒚𝟐= 𝟏𝟗 (𝒙𝟐−𝒚𝟐). (𝟑𝒙𝟐+ 𝟕𝒙𝒚+ 𝟐𝒚𝟐) = 𝟖𝟒

3/ Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c ≤

𝟑

𝟐 .Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức P = √𝒂𝟐

𝟏+

𝟏

𝒃𝟐+ √𝒃𝟐

𝟏+

𝟏

𝒄𝟐+ √𝒄𝟐

𝟏+

𝟏

𝒂𝟐

DeThi.edu.vn

Câu 5. (2Đ) 1/ Tìm hai chữ số tận cùng của 𝟏𝟒𝟏𝟒𝟏𝟒

2/ Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn 𝒙𝟑−𝒚𝟑= 𝟐𝒙𝒚+ 𝟖

3/ Có 6 người khách được mời đến một buổi tiệc sinh nhật. Chứng minh rằng

trong sáu người bất kì nào cũng có hai nhóm, mỗi nhóm ba người, từng đôi một quen

nhau hoặc từng đôi một không quen nhau.

Câu 6. (2Đ) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R) có AB < AC. Vẽ tia tiếp

tuyến Ax tại A của (O). Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax. Vẽ

AD _|_ BC tại D. Đường thẳng qua E vuông góc với DE cắt AD tại I. Cho AD cắt

đường tròn (O) tại K, AC cắt DF tại M

1/ Chứng minh: AI = DK

2/ IM cắt EC tại H, KM cắt (O) tại N. Chứng minh: Tứ giác HNFC nội tiếp

Câu 7. (2Đ) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O;R). Vẽ đường

trung tuyến BM và đường cao BH của tam giác ABC (M, H thuộc AC). Cho BM và

BH cắt đường tròn (O) lần lượt tại N và K. Tính tĩ số diện tích của tứ giác NKHM với

diện tích tứ giác AKNO nếu biết

𝑩𝑴

𝑴𝑵=

𝟏𝟏

𝟑

Câu 8. (5Đ) Cho tam giác ABC cò 3 góc nhọn (AC > AB). Đường tròn (O;R) đường

kính BC cắt AB và AC lần lượt tại F và E, BE cắt CF tại H, AH cắt BC tại D, DE cắt

đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I, AI cắt BC tại K

1/ Chứng minh: Tứ giác EFDO nội tiếp và AB.IK = AK.BF

2/ Dựng EP _|_ HC tại P và CQ _|_ EF tại Q.

Chứng minh: AB.EP + CP.CH + CD.BC = AC2 + BC2 – AB2 và đường trung

trực của DQ đi qua trung điểm cạnh AF

3/ Điểm M thuộc cạnh EF sao cho PM // AD. Điểm G thuộc cạnh EC sao cho

BE // KG. Chứng minh: MC đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác AKC

4/ Điểm S thuộc cạnh MC sao cho BM // KS. Dựng điểm L sao cho ML // AD và

AK _|_ CL. Chứng minh: 𝑫𝑺𝑪 ̂ = 𝑬𝑳𝑪 ̂

-----------&&& Hết &&&---------

DeThi.edu.vn