Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Võ Xán (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO TÂY SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS VÕ XÁN NĂM HỌC: 2018 - 2019

Môn thi: TOÁN 9

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (3,0 điểm) Với n chẵn (n N) Chứng minh rằng: (20n + 16n – 3n – 1) chia hết cho 323

Bài 2 (5,0 điểm) Cho biểu thức: ( với a > 0, a  1).

a) Chứng minh rằng

b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức nhận giá trị nguyên?

Bài 3 (5,0 điểm)

a) Cho x, y là các số dương thỏa mãn .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

b) Giải phương trình :

Bài 4 (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A có . Chứng minh là số vô tỉ .

Bài 5 (5,0 điểm) Cho đường tròn (C ) với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động trên (C ) sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy C là điểm đối xứng của O qua A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F.

a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng. b) Chứng minh rằng tích AMAN không đổi. c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất.

..................................................... Hết................................................

Chú ý : Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh :………………………….

Số báo danh : …………………………

Chữ kí giám thị 1:……………………….

Chữ kí giám thị 2:……………………….

2 4 5 2 2 3 x x x    



2 a 1 a a 1 a a a a 1 M

a a a a a a

          M 4. 

6 N M 

34 35 x y  

2 8 3 4 5 7 A x y x y    

· 0 108 BAC  BC AC

ĐỀ ĐỀ XUẤT (Đề gồm 1 trang, 5 bài )

DeThi.edu.vn

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ĐỀ XUẤT CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

TOÁN 9 - NĂM HỌC: 2018 - 2019 Bài Câu Nội dung cần đạt Điểm *Ta có: (20n + 16n – 3n – 1) = (20n– 1) + (16n – 3n ) 0,25 Vì: (20n– 1) 19 0,25

Và: (16n – 3n ) 19 ( Vì n chẵn) 0,25

Do đó: (20n + 16n – 3n – 1) 19 (1) 0,25 *Ta cũng có: (20n + 16n – 3n – 1) = (20n– 3n ) + (16n – 1) 0,25 Vì: (20n– 3n ) 17 0,25

Và: (16n – 1) 17 ( Vì n chẵn) 0,25

Do đó: (20n + 16n – 3n – 1) 17 (2) 0,25 Mặt khác: (17;19) = 1 (3) 0,5

1

Từ (1); (2);(3) suy ra (20n + 16n – 3n – 1) 323 0,5

3,0

Do a > 0, a  1 nên: 0,5

Và: 0,5

 0,5

Do nên: 1,0

a

 0,5

3,0

Ta có do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1 0,5

Mà N = 1    0,5

 (thõa mãn) 0,5

2

b

Vậy, N nguyên  0,5

2,0

Ta có:

0,5

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta được:

0,5

0,5

3 a

Vì nên 0,5

3,0

M

M

M

M M

M

M

a a 1 ( a 1)(a a 1) a a 1 a a a( a 1) a          

2 a a a a 1 (a 1)(a 1) a(a 1) (a 1)(a a 1) a a 1 a a a a(1 a) a(1 a) a                  

a 1 M 2 a   

a 0; a 1   2 ( a 1) 0 a 1 2 a    

2 a M 2 4 a   

6 3 0 N M 2   

6 a 1 a 1 2 a

 

a 4 a 1 0   2 ( a 2) 3  

a 2 3 hay a 2 3    

2 a (2 3)  

2 8 3 4 5 7 1 1 2 5 8 7 2 2 5 2 7 2

A x y x y x y x y x y

   

     

2 5 2.5 2 2 5 2 5 .2 x x x x   

8 7 8.7 2 4 7 2 7 .2 x x x x   

34 35 x y   1 34 17 . 2 4 6 2 35 35 A    

DeThi.edu.vn