Xem trước nội dung
36 5 . x y A
(Đề thi này có 5 bài, gồm 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức:
a. Rút gọn P. b. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
c. Xét biểu thức: chứng tỏ 0 < Q < 2.
Bài 2: (4,5 điểm)
a. Không dùng máy tính hãy so sánh : và .
b. Tìm x, y, z, biết: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 2yz + 2y – 8z + 10 .
c. Giải phương trình:
Bài 3: (4,0 điểm)
a. Với Tính giá trị của biểu thức: B = .
b. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) với x > 1, y > 1 sao cho (3x+1) y đồng thời (3y + 1) x. Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a. Chứng minh rằng:
Tam giác đồng dạng với tam giác ;
b. Chứng minh rằng :
c. Cho biết AH = k.HD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = k + 1.
d. Chứng minh rằng: .
Bài 5: (1,5 điểm)
Cho x, y là các số tự nhiên khác 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hết
Họ tên thí sinh:................................................ Chữ kí của giám thị:1:...................
Số báo danh:................. Chữ kí của giám thị 2:...................
Giám thị không giải thích gì thêm
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2014-2015
MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 21/10/2014 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
2 2 1 2 . 1 1
x x x x x P
x x x x
2 , x Q P
2014 2015 2015 2014 2014 2015
0 1 5 4. 3 4 x x
3 5 2 17 5 38
. 5 14 6 5 x
2015 3 2 3 8 2 x x
M M
AEF ABC 2 cos . AEF
ABC
S A S
2 2 2 1 cos cos cos . DEF ABC S A B C S
3 HA HB HC BC AC AB
DeThi.edu.vn
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ
HƯỚNG DẪN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2014-2015
MÔN : TOÁN
Hướng dẫn chấm này có 03 trang I. Yêu cầu chung: 1. Học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng. 2. Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không cho điểm. II. Yêu cầu cụ thể: Bài Nội dung cần đạt Điểm a.(2,0đ) Đk :
Vậy , với
0,25
0,5
0,5
0,5 0,25
b. (1,0đ)
dấu bằng xảy ra khi x = ¼, thỏa mãn đk.
Vậy GTNN của P là khi .
0,25
0,5 0,25
1
c. (1,0đ).Với thì Q = > 0. (1)
Xét
Dấu bằng không xảy ra vì điều kiện . suy ra Q < 2.(2) Từ (1) và (2) suy ra 0 < Q < 2.
0,25
0,25
0,25
0,25
Vậy > .
0,5
0,75
0,25
2
b. Phân tích được thành (2x - y)2 + (y – z + 1)2 + ( z - 3)2 (1) Vì (2x - y)2 ; (y – z + 1)2 ; ( z - 3)2 với mọi x, y, z nên từ (1) suy ra x = 1; y = 2; z = 3.
0,75 0,75
c. Đk: x > - 3.
Khi đó phương trình đã cho tương đương với
0,25
0; 1. x x
1 2 1 2 1 1
1 1
1 2 1 2 1
1
x x x x x x x P
x x x x
x x x x
x x
1 P x x 0; 1. x x
2 1 3 3 1 2 4 4 P x x x
3 4
1 4 x
0; 1 x x 2
1 x x x
2 2 1 2 2 0 1 1
x x x x x x
1 x
2014 2015 2015 1 2014 1 2015 2014 2015 2014 1 1 2015 2014 2015 2014 2014 2015
2014 2015 2015 2014 2014 2015
0 0 0 0
DeThi.edu.vn
Vì x > - 3 nên
Do đó 4x + 11 = 0 x = thỏa mãn điều kiện.
Vậy tập nghiệm của phương trình là: .
0,5
0,25
0,25
0,25
a. Ta có
Do đó B = - 1.
1,25
0,75
3
b. Dễ thấy . Không mất tính tổng quát, giả sử x > y. Từ (3y + 1) x
Vì x > y nên 3x > 3y + 1 = p.x. p < 3. Vậy p
Với p = 1: x = 3y + 1 3x + 1 = 9y + 4 y 4 y Mà y > 1 nên y + Với y = 2 thì x = 7. + Với y = 4 thì x = 13. Với p = 2: 2x = 3y + 1 6x = 9y + 3 2(3x + 1) = 9y + 5 Vì 3x + 1 y nên 9y + 5 y suy ra 5 y , mà y > 1 nên y = 5, suy ra x = 8. Tương tự với y > x ta cũng được các giá trị tương ứng. Vậy các cặp (x; y) cần tìm là: (7;2);(2;7);(8;5);(5;8);(4;13);(13;4);
0,25
0,25
0,25
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25
4 a.
Tam giác ABE vuông tại E nên cosA = 0,25
0,25
1 5 2 2 0 3 4 x x
1 5 4 4 4 11 4 11 3 4 0 0 1 5 1 5 2 2 3 2 4 2 3 4 3 4
x x x x
x x x x x x
1 1 0 1 5 3 2 4 2 3 4 x x x x
…
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
