Xem trước nội dung
Câu lạc bộToán A1
HSG lớp 9 Hà Nội năm 2019-2020 Câu lạc bộtoán A1
Lời giải đềthi HSG lớp 9 thành phốHà Nội năm 2019-2020
Câu lạc bộToán A1 1
Bài 1. (5,0 điểm)
1) Giải phương trình (4x+2) √
x2 +2x+5 = (x2 +2x+2) √
4x+5.
2) Cho bốn sốthực dương a,b,c,d thỏa mãn a3+b3+c3 = 3d3,b5+c5+d5 = 3a5 và c7+d7+a7 = 3b7. Chứng minh rằng a = b = c = d.
Lời giải. 1) Điều kiện xác định: x ≥−5
4. Đặt a = 4x+2,b = x2 +2x+2 thì phương trình trởthành
a √
b+3 = b √
a+3.
Bình phương hai vếvà biến đổi ta được
(a−b)(ab+3a+3b) = 0.
Lưu ý là từđềbài ta phải có a,b ≥0 nên phương trình trên tương đương với a = b. Giải ta tìm được x = 0,x = 2 đều thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0 và x = 2.
2) Nếu một trong ba sốa,b,d lớn nhất thì ta suy được a = b = c = d. Thật vậy, nếu a lớn nhất thì từđiều kiện thứ2 ta có 3a5 = b5 + c5 + d5 ≤a5 + a5 + a5 nên ta phải có a = b = c = d. Tương tựvới các trường hợp còn lại. Giờxét c là sốlớn nhất thì áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có d3 ≥abc,a3 ≥bcd,b3 ≥cda. Nhân các bất đẳng thức trên và rút gọn, ta được abd ≥c3, kéo theo a = b = c = d. Tóm lại, a = b = c = d.
Bài 2. (5,0 điểm)
1) Chứng minh rằng với mọi sốtựnhiên n thì n2 +3n+11 chia hết cho 49.
2) Tìm tất cảcác bộba sốnguyên dương (x,y, p) với p là sốnguyên tốthỏa mãn
x2 + p2y2 = 6(x+2p).
Chứng minh. 1) Giảsửphản chứng n2 +3n+11 chia hết cho 49, kéo theo n2 +3n+11 chia hết cho 7. Thếthì vì n2 +3n+11 = (n−2)2 +7n+7 nên ta phải có (n−2)2 chia hết cho 7. Suy ra n−2 chia hết cho 7, tức là n chia 7 dư 2. Đặt n = 7k + 2 với k ∈N thì n2 + 3n + 11 = 49k2 + 49k + 21 không chia hết cho 49, mâu thuẫn. Vậy, giảsửlà sai tức là ta có đpcm.
2) Viết lại đềbài dưới dạng (x−3)2 + p2y2 = 12p+9.
1A1 Maths Club (AMC), Phụtrách CLB: Nguyễn Tiến Lâm
DeThi.edu.vn
Câu lạc bộToán A1
HSG lớp 9 Hà Nội năm 2019-2020 Câu lạc bộtoán A1
Vếphải chia hết cho 3 nên vếtrái chia hết cho 3. Với a,b ∈Z, vì a2,b2 chia 3 dư 0 hoặc 1 nên a2 +b2
chia hết cho 3 khi và chỉkhi a,b đều chia hết cho 3. Từnhận xét này, ta có ngay x−3 và py đều chia hết cho 3. Suy ra (x−3)2 +(py)2 chia hết cho 9, kéo theo 12p+9 chia hết cho 9 tức là 12p phải chia hết cho 9, dẫn tới p chia hết cho 3. Khi đó ta phải có p = 3. Thay vào phương trình ta có
(x−3)2 +9y2 = 45.
Suy ra y2 ≤4 hay y ∈{1,2}. Kiểm tra trực tiếp, ta có các bộnghiệm (x,y, p) là (9;1;3),(6;2;3).
Bài 3. (3,0 điểm)
1) Cho hai sốthực dương x,y thỏa mãn 5(x−y)2 ≤x2 +y2. Chứng minh rằng 1
2 ≤x
y ≤2.
2) Cho ba sốthực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện 5(x+y+z)2 ≥14(x2 +y2 +z2). Tìm giá trịlớn
nhất và giá trịnhỏnhất của biểu thức P = 2x+z
x+2z.
Chứng minh. 1) Khai triển, và rút gọn ta được 2x2 −5xy+2y2 ≤0. Chia cảhai vếcho y2 > 0, ta được
2 x
y
2 −5x
y +2 ≤0.
Phân tích vếtrái thành nhân tử, ta có 2x
y −1 x
y −2 ≤0.
Giải điều kiên nói trên, ta có ngay 1
2 ≤x
y ≤2.
2) Từgiảthiết, viết lại thành
9y2 −10y(x+z)+9(x2 +z2)−10xz ≤0
hay tương đương 3y−5(x+z)
3
2 ≤−56x2 −140xz+56z2
9 .
Suy ra 2x2 −5xz+2z2 ≤0. Theo ý 1) thì 1
2 ≤x
z ≤2. Từđó nếu đặt t = x
z thì P = 2t +1
t +2 = 2− 3 t +2
sẽđạt giá trịlớn nhất, nhỏnhất tương ứng với t đạt giá trịlớn nhất, nhỏnhất. Thếthì, Pmax = 5
4 và
Pmin = 4
5.
DeThi.edu.vn
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
