Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán 9 - Năm học 2012-2013

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN KIM THÀNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013

Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 120 phút

Đề gồm 01 trang

Bài 1: (4,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức A =

b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1.

Hãy tính giá trị biểu thức: A =

Bài 2: (3,0 điểm) a) Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012

Tính f(a) tại a =

b) Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 17 là số chính phương? Bài 3: (4,0 điểm) Giải các phương trình sau:

a)

b)

Bài 4: (3,0 điểm)

a) Tìm x; y thỏa mãn:

b) Cho a; b; c là các số thuộc đoạn thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 6 hãy chứng

minh rằng: a + b + c 0 Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; các đường cao AK; BD; CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh:

b) Giả sử: HK = AK. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3

c) Giả sử SABC = 120 cm2 và BÂC = 600. Hãy tính diện tích tam giác ADE?

2 9 3 2 1 5 6 2 3 x x x x x x x         

2 2 2 2 2 2

2 2 2 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) y z z x x y x y z x y z           

3 3 16 8 5 16 8 5   

1 4 3 x x    

2 4 5 2 2 3 x x x    

  2 4 4 x y y x xy    

  1;2 



2 2 2

2 2 2 KC AC CB BA KB CB BA AC     

1 3

DeThi.edu.vn

TRƯỜNG THCS THƯỢNG VŨ

Tổ KHTN

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG HUYỆN KIM THÀNH

NĂM HỌC 2012 – 2013

Môn: Toán 9 Thời gian: 120’ Câu 1: (4 điểm)

a/ Rút gọn biểu thức A =

ĐKXĐ: x 4; x 9 A =

=

b/ Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1.

Hãy tính: A =

Gợi ý: xy + yz + xz = 1 1 + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z) = (x

+ z)(x + y)

Tương tự: 1 + y2 = …; 1 + z2 = ….

Câu 2: (3 điểm) a/ Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012

Tính f(a) tại a =

b/ Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 17 là số chính phương? Giải

a/Từ a=

nên a3 + 12a =

32 Vậy f(a) = 1

2 9 3 2 1 5 6 2 3 x x x x x x x         

 

        

2 9 3 2 1 2 9 9 2 3 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3

x x x x x x x x x x x x x x x x x

                     

     

1 2 1 3 2 3

x x x x x x

   

  

2 2 2 2 2 2

2 2 2 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) y z z x x y x y z x y z           



3 3 16 8 5 16 8 5   

3 3 16 8 5 16 8 5   

   3 3 3 3 32 3 16 8 5 16 8 5 16 8 5 16 8 5 32 12 a a                

DeThi.edu.vn

b/ Giả sử: n2 + 17 = k2 (k ) và k > n (k – n)(k + n) = 17

Vậy với n = 8 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 3: (4 điểm) Giải các phương trình sau:

a/

b/

Giải a/ ĐK:

Bình phương 2 vế:

(thỏa mãn)

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 0; x = -3

b/ ĐKXĐ: x

vậy phương trình có nghiệm

duy nhất x = -1 Câu 4: (3 điểm)

a/ Tìm x; y thỏa mãn:

b/ Cho a; b; c là các số thuộc đoạn thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 6 hãy chứng

minh rằng: a + b + c 0 Giải

a/

Xét VP = theo BĐT cosi:

vậy VP xy = VT

Dấu = xảy ra khi:

b/ Do a; b; c thuộc đoạn nên a + 1 0; a – 2 0 nên (a + 1)(a – 2) 0

Hay: a2 – a – 2 0 a2 a + 2

¥ 

 1 8 17 k n n k n        

1 4 3 x x    

2 4 5 2 2 3 x x x    

4 1 x  

1 4 2 (1 )(4 ) 9 (1 )(4 ) 2 x x x x x x           

2 0 4 3 4 ( 3) 0 3

x x x x x x

          

2 4 5 2 2 3 x x x     3 2  

   2 2 1 2 3 2 2 3 1 0 x x x x        

   

2 2 1 0 1 2 3 1 0 1 2 3 1

x x x x x

             

  2 4 4 x y y x xy    

  1;2 



  2 4 4 .2. 4 .2. 4 x y y x xy x y y x xy         

.2. 4 .2. 4 x y y x   

4 4 4 4 2 4 ;2 4 2 2 2 2 y y x x y x           

4 2 8 4 2

x x y y

          

  1;2    

  

DeThi.edu.vn