74 Bài tập hình học nâng cao Lớp 8 Chương III Phần 2

Bài tập hình học nâng cao lớp 8 – chương III – phần 2

&&&-------+++++---------&&&

Bồi dưỡng HSG

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD có góc B là góc tù. Kẻ AH vuông góc với BD tại H,

HK vuông góc với CD tại K. Gọi M là trung điểm của DK và N là trung điểm của BH.

(cho biết S là diện tích)

1/ Chứng minh: ∆𝑨𝑩𝑵 ~ ∆𝑯𝑫𝑴

2/ Kẻ NO vuông góc với AB tại O. Chứng minh: 3 điểm O, H, M thẳng hàng

3/ AN cắt BC tại E và cắt CD tại F. Trong trường hợp

𝑺∆𝑨𝑯𝑫

𝑺∆𝑪𝑬𝑭=

𝟏𝟓

𝟏𝟔. Tính tỷ số

𝑺∆𝑨𝑯𝑭 𝑺∆𝑩𝑵𝑬

4/ Kẻ NS vuông góc với AD tại S. Chứng minh:

𝑯𝑴

𝑯𝑺=

𝑩𝑪

𝑨𝑩

Bài 2. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn

có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại

H, EF cắt AH tại O. Gọi M và N lần lượt

là hình chiếu của C và B trên đường

thẳng EF

1/ Chứng minh:

𝑶𝑨

𝑨𝑫=

𝑶𝑭

𝑫𝑭

2/ Chứng minh:

𝑴𝑪

𝑩𝑵=

𝑯𝑪

𝑯𝑩.

𝑨𝑪

𝑨𝑩

3/ Chứng minh:

𝑬𝑭

𝑴𝑵=

𝑨𝑯

𝑨𝑫+𝑯𝑫

4/ Chứng minh:

𝑨𝑴

𝑨𝑵=

𝑶𝑭

𝑶𝑬

DeThi.edu.vn

Bài 3. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn

(AB<AC) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau

tại H, EF cắt AH tại O

1/ Chứng minh: HC.OF = OH.AC

2/ Gọi M là trung điểm của OB và N là trung

điểm của OC. Chứng minh:

𝑯𝑩

𝑴𝑵=

𝟐𝑨𝑪.𝑩𝑫

𝑨𝑩.𝑭𝑪

3/ Chứng minh: 𝑨𝑩𝟐−𝑨𝑪𝟐= 𝟒. (𝑨𝑴𝟐−𝑨𝑵𝟐)

4/ MF cắt EN tại S. Chứng minh: Đường thẳng

AS đi qua trung điểm đoạn thẳng BC

Bài 4. Cho tam giác ABC có 3 góc

nhọn (AB<AC) có 3 đường cao AD,

BE, CF cắt nhau tại H

1/Chứng minh:

𝟐𝑨𝑫𝟐= 𝑨𝑭. 𝑨𝑩+ 𝑨𝑬. 𝑨𝑪+ 𝟐𝑩𝑫. 𝑪𝑫

2/ Gọi I là trung điểm của BC và K là

điểm đối xứng H qua I. Chứng minh

: ∆𝑨𝑲𝑪 ~ ∆𝑨𝑯𝑭

3/ AK cắt HC tại O. Lấy điểm M

thuộc đoạn thẳng AC sao cho

EF // OM. Chứng minh: HM // BC

4/ KC cắt AD tại L và cắt HM tại J.

Gọi T là điểm đối xứng O qua C.

Chứng minh: Tam giác LTJ là tam giác vuông

DeThi.edu.vn

Bài 5. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn

(AB<AC) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau

tại H. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của F

và E trên đường thẳng AH

1/ Chứng minh:

𝑨𝑵

𝑨𝑴=

𝑨𝑩𝟐

𝑨𝑪𝟐

2/ Chứng minh: Với mọi trường hợp tam giác

ABC nhọn, không thể xảy ra trường hợp M là

trực tâm của tam giác BNC

3/ Chứng minh:

𝑴𝑨

𝑴𝑯.

𝑵𝑨

𝑵𝑯= (

𝑨𝑫

𝑵𝑫+

𝑨𝑴

𝑴𝑫)

𝟐

4/ Chứng minh:

𝟏

𝑺∆𝑩𝑭𝑪+

𝟏

𝑺∆𝑩𝑬𝑪−

𝟏

𝑺∆𝑩𝑯𝑪=

𝟏

𝑺∆𝑨𝑩𝑪

(S là diện tích)

Bài 6. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB<AC). Vẽ đường phân giác trong AD ( D

thuộc BC). Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD

1/ Chứng minh:

𝑨𝑬

𝑨𝑭=

𝑫𝑬

𝑫𝑭

2/ EC cắt AB tại K và cắt BF tại O. Chứng minh: 3 đường thẳng KF, BE, OD đồng quy

3/ OA cắt BC tại M. Chứng minh: 𝑨𝑴𝟐= 𝑴𝑩. 𝑴𝑪−𝑨𝑩. 𝑨𝑪

4/ Chứng minh:

𝑩𝑫

𝑪𝑫.

𝑨𝑫

𝑨𝑬+

𝑫𝑬

𝑨𝑬= 1 và

𝑶𝑨

𝑶𝑴= (𝟏−

𝑫𝑩

𝑫𝑪)

𝟐

DeThi.edu.vn

Bài 7. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Điểm

E di động trên đoạn thẳng AB, điểm F di

động trên đoạn thẳng AC sao cho

EF // BC và BE > AE. Gọi M là N lần lượt là

trung điểm của AF và AC.

1/ Chứng minh: Tứ giác EMNB là hình thang

2/ Chứng minh: Khi E và F di động thì giá trị

của biểu thức A =

𝑺𝑩𝑬𝑴𝑵

𝑺𝑩𝑬𝑭𝑪+

𝑺∆𝑬𝑭𝑵 𝑺∆𝑩𝑴𝑭

có giá trị

Không đổi (S là diện tích)

3/ NE cắt BM tại O và EC cắt BF tại I. Chứng minh: OI // BC và

𝑺∆𝑩𝑶𝑰 𝑺𝑨𝑶𝑰𝑪>

𝟏

𝟑

4/ Trong trường hợp 𝑨𝑪𝟐= 𝟐𝑨𝑩𝟐. Chứng minh: góc 𝑴𝑩𝑭 ̂ = góc 𝑵𝑬𝑪 ̂

Bài 8/ Cho tam giác ABC có N là trung điểm của AC. Điểm M thuộc đoạn thẳng AB

sao cho BM = 2AM. Cho MN cắt BC tại E. Cho biết S là diện tích

1/ Trong trường hợp BC = 12cm. Tính độ dài EC

2/ Biết diện tích tam giác AMN = 10 cm2. Tính diện tích tam giác NCE

3/ MC cắt BN tại I, EI cắt AC tại H và cắt AB tại K. Tính tỉ số

𝑰𝑯

𝑰𝑲

4/ Tính tỉ số diện tích tứ giác HMKC với diện tích tứ giác AICE

DeThi.edu.vn