Đề thi học học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Đề 8 - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

TRƯỜNG THCS ............. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7

NĂM HỌC 2019 – 2020

Môn thi: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 : ( Đại số : 5 điểm)

Câu 1. Tính nhanh:

Câu 2. Tìm x, y biết: = và x + y = 22

Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau :

.

Bài 2 : ( Đại số : 5 điểm)

Câu 1. Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo . Biết rằng tổng các bình phương của

ba số đó bằng 24309. Tìm số A

Câu 2 Cho hàm số y = f(x) = 2 – x2.

a) Hãy tính : f(0) ; f( )

b) Chứng minh: f(x – 1) = f(1 – x)

Bài 3 : ( Hình học : 2 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH vuông góc với BC tại H, M là trung điểm của BC.

Biết AH = 40; AM = 41. Tính tỉ số độ dài 2 cạnh góc vuông AB và AC.

Bài 4 : ( Hình học : 5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB > AC. M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia

MA lấy điểm D sao cho MD = MA.

a) Chứng minh: AB = DC và AB // DC.

b) Chứng minh rằng: ABC = CDA từ đó suy ra .

c) Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Chứng minh rằng: BE //

AM.

d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để .

1 1 1 1 1 3 5 7 ... 49 ( ... ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89       

y x



 7

4

7 4

    2 2 H = 3x - 2y - 4y - 6x - xy - 24

2 3 1 : : 5 4 6

2 1 

2 BC AM 

2 BC AC 

Đề thi thử 8

DeThi.edu.vn

e) Gọi O là trung điểm của AB. Chứng minh rằng: E, O, D thẳng hàng.

Bài 5 : ( Số học : 3 điểm)

Câu 1. Tìm x, y nguyên biết x – 2xy + y = 0

Câu 2. Chứng minh rằng: 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 +……+ 3x+100 chia hết cho 120 (với x N)

----------------Hết-----------------

(Học sinh không được sử dụng máy tính)

Bài 2. Thực hiện phép tính: (4 điểm)

=

=

Từ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1 Vì x,y là các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) là các số nguyên do đó ta có các tr-ờng hợp sau :

HoÆc

Vậy có 2 cặp số x, y nh- trên thoả mãn điều kiện đầu bài

.(2.0đ) f(0) = 2 – 02 = 2;

f( ) = 2 – =

b.(1.0đ) f(x – 1) = 2 – ( x – 1 )2; f(1 – x ) = 2 – ( 1 – x )2

do (x – 1) và (1 – x) là hai số đối nhau nên bình phương bằng nhau.

Vậy 2 – ( x – 1 )2 = 2 – ( 1 – x )2 hay f(x – 1) = f(1 – x).

Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A.

Theo đề bài ta có: a : b : c = (1)

và a2 +b2 +c2 = 24309 (2)

Từ (1) = k

Do đó (2)

k = 180 và k = + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. + Với k = , ta được: a = ; b = ; c = Khi đó ta có só A = +( ) + ( ) = .



1 1 1 1 1 3 5 7 ... 49 ( ... ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89       

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 ... 49) ( ... ). 5 4 9 9 14 14 19 44 49 12            

1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9 ( ). 5 4 49 89 5.4.7.7.89 28     

  

     

  

 

0 0 1 1 2

1 2 1

y x x

y

  



    

 

  

1

1

1 1 2

1 2 1

y

x

x

y

2 1  2) 2 1 ( 4 7

2 3 1 : : 5 4 6

2 3 1 5 4 6

a b c    2 3 ; ; 5 4 6 k a k b k c   

 2 4 9 1 ( ) 24309 25 16 36 k   

 180 

180  72  135  30  72  135  30  237 

DeThi.edu.vn

Từ

=>

=>10z = 12y = 15x

=> => và 3x – 2y + 5z = 96

Giải ra ta được x = 12; y = 15; z = 18

Ta có

Ta có với mọi giá trị của x, y

với mọi giá trị của x, y

Do đó với mọi giá trị của x, y

Nên với mọi giá trị của x, y

Hay H ≤ 0 với mọi giá trị của x, y

Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi

và (1)

+ Với thì 3x = 2y

Đặt . Khi đó x = 2k ; y = 3k

Thay x = 2k và y = 3k vào (1) ta được 2k . 3k - 24 = 0

6k2 = 24

k2 = 4 k = 2 hoặc k = -2 + Với k = 2 thì x = 2.2 = 4 y = 3.2 = 6 + Với k = - 2 thì x = 2.(-2) = - 4 y = 3.(-2) = - 6 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức H là 0 khi và chỉ khi x = 4; y = 6 hoặc x = - 4; y = - 6

5z 6 6x 4z 4 5x 4 5 6 y y     

20z 24 30x 20z 24 30x 16 25 36 y y     

4 5 6 x y z   3 2 5 12 10 30 x y z  

    2 2 H = 3x - 2y - 4y - 6x - xy - 24

        2 2 2 2 = 3x - 2y - 4. 2y - 3x - xy - 24 3x - 2y - 4. 3x - 2y - xy - 24 

 

2 = - 3. 3x - 2y - xy - 24  

2 = - 3. 3x - 2y + xy - 24    

 

2 3. 3x - 2y 0 

xy - 24 0 

 

2 3. 3x - 2y + xy - 24 0 

 

2 - 3. 3x - 2y + xy - 24 0    …