Chuyên đề định lí Py-ta-go

Trang 1

BÀI 7. ĐỊNH LÍ PY-TA-GO

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được nội dung định lí Py-ta-go và định lí Py-ta-go đảo.

 Kĩ năng

+ Vận dụng định lí Py-ta-go để tính độ dài cạnh thứ ba khi biết độ dài hai cạnh của tam giác

vuông.

+ Vận dụng định lí Py-ta-go đảo để chứng minh góc vuông hoặc tam giác vuông.

+ Áp dụng định lí Py-ta-go vào các bài toán trong thực tiễn.

Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định lí Py-ta-go

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh

huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc

vuông

Định lí Py-ta-go đảo

Nếu một tam giác có bình phương một cạnh bằng

tổng các bình phương hai cạnh kia thì tam giác đó

là tam giác vuông.

∆ABC vuông tại A 2 2 2 BC AB AC   

∆ABC có  2 2 2 90 BC AB AC BAC     

hay ∆ABC vuông tại A

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính độ dài một cạnh của tam giác vuông

Phương pháp giải

* Sử dụng định lí Py-ta-go và các hệ quả đi kèm.

* Lưu ý sử dụng các giá trị số căn bậc hai: 2x a 

thì x a  với mọi 0 x  .

Bước 1. Xác định nội dung của định lí Py-ta-go đối

với tam giác vuông.

Bước 2. Dựa theo yêu cầu tính toán, ta thay số vào

hệ thức Py-ta- go và tìm độ dài cạnh cần tính.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính độ dài

các cạnh của tam giác ABC biết 5 AB cm  ,

12 AC cm  .

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông

ABC, ta có 2 2 2 AB AC BC   .

Với 5 , 12 AB cm AC cm   , ta có

2 2 2 2 2 2 5 12 169 13 BC AB AC      

13 BC cm   .

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A . Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết 15 BC cm  và

2 AC AC  .

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông ABC, ta có 2 2 2 AB AC BC   .

Với 15 BC cm  và 2 AB AC  , ta có  

2 2 2 2 2 15 5 225 AC AC AC    

2 45 45 AC AC cm     . Suy ra 2 2 45 AB AC cm   .

Trang 3

Ví dụ 2. Tính độ dài x trong hình sau

Hướng dẫn giải

Ta có   32 18 50 BC BH CH cm     

Áp dụng định lí Py-ta-go trong các tam giác vuông, ta có

+ Xét ∆ACH vuông tại H có:

2 2 2 2 2 2 2 2 32 AC AH CH AH AC CH x        . (1)

+ Xét ∆ABH vuông tại H có:

2 2 2 2 2 2 32 18 AB AH BH x      . (2)

+ Xét ∆ABC vuông tại A có 2 2 2 AB AC BC   (3)

Thay (1) và (2) vào (3), ta có

2 2 2 2 2 32 18 50 x x    

2 2 700 2500 x   

2 1600 x  

40 x  

Vậy 40 x cm  .

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại B. Kết luận nào sau đây là đúng?

A. 2 2 2 BC AB AC   . B. 2 2 2 AC BA BC   .

C. 2 2 2 AC BC AB   . D. 2 2 2 AB AC BC   .

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có 26 , 10 BC cm AC cm   . Chu vi của tam giác ABC bằng

A. 60 cm. B. 56 cm. C. 51 cm. D. 48 cm.

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, H BC  .

Trang 4

Giá trị của x bằng

A. 16 x cm  . B. 9 x cm  . C. 8 x cm  . D. 7,5 x cm  .

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính độ dài BC biết 8 CA cm  và 4 BA cm  .

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A . Tính độ dài các cạnh của tam giác biết : 5 :13 AB BC  và chu vi tam giác là 90 cm.

Câu 6: Trên hình bên, cho biết , , 13 AD DC DC BC AB cm    , 15 AC cm  và 12 DC cm  .

Tính độ dài đoạn thẳng BC.

Dạng 2: Sử dụng định lý Py-ta-go đảo để chứng minh tam giác vuông

Phương pháp giải

Sử dụng độ dài các cạnh trong tam giác và dùng

định lí Py-ta-go đảo để kiểm tra tam giác vuông.

Bước 1. Xác định cạnh có độ dài lớn nhất của tam

giác và hai cạnh còn lại. Tính giá trị bình phương

độ dài cạnh lớn nhất và tổng bình phương hai cạnh

còn lại.

Bước 2. So sánh hai giá trị tính được để kiểm tra có

thỏa mãn định lí Py-ta-go đảo hay không.

Ví dụ: Cho ∆ABC có 4 , 3 AB cm AC cm   và

5 BC cm  . Chứng minh rằng tam giác ABC là tam

giác vuông.

Hướng dẫn giải

Ta có 5 BC cm  có độ dài lớn nhất (dự đoán có thể

là cạnh huyền của tam giác vuông).

Ta có 2 2 2 2 2 2 5 25; 4 3 25 BC AB AC       .

Suy ra 2 2 2 AB AC BC   .

Do đó theo định lí Py-ta-go đảo, tam giác ABC

vuông tại A.

Nhận xét:

+ Ví dụ trên đề cập đến một tam giác vuông có độ dài các cạnh là …