Chuyên đề tính chất ba đường phân giác của tam giác

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ

BÀI 6. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Phát biểu được định nghĩa đường phân giác của tam giác, tính chất đường phân giác trong tam

giác cân.

+ Phát biểu được định lí về ba đường phân giác của tam giác.

 Kĩ năng

+ Vận dụng được các định nghĩa, định lí để chứng minh các tính chất hình học.

Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định lí Ví dụ:

- Ba đường phân giác của một tam giác cùng

đi qua một điểm.

- Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

ABC  có 3 đường phân giác cùng qua điểm I và

ID IE IF   .

Tính chất đường phân giác xuất phát từ

đỉnh của tam giác cân

Ví dụ:

ABC  cân tại A và AD là phân giác của góc A thì

BD DC  .

- Trong một tam giác cân, đường phân giác

xuất phát từ đỉnh đối diện với đáy đồng thời là

đường trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam

giác đó.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau. Từ đó tính độ dài đoạn thẳng,

số đo góc

Phương pháp giải

Sử dụng các tính chất

 Giao điểm của hai đường phân giác của

một tam giác nằm trên đường phân giác thứ

ba của tam giác đó.

 Giao điểm các đường phân giác của tam

giác cách đều ba cạnh của tam giác

Ví dụ: Tìm x trong hình vẽ sau

Hướng dẫn giải

Ta có

        2 2 2 ABC ACB IBC ICB IBC ICB     

  o o o 2 37 23 120   

Trang 3

     o 180 BAC ABC ACB    

o o o 180 120 60    .

Mà BI, CI lần lượt là đường phân giác của  ABC và

 ACB nên I là giao điểm của ba đường phân giác

trong của ABC AI   là đường phân giác của

 

o 30 2 BAC BAC x    .

Ví dụ mẫu

Ví dụ. Tìm x trong hình vẽ sau

Hướng dẫn giải

Ta có DE DF  nên DEF  cân tại D

   o 2 64 DFE DEF HED     .

Vì DEF  có hai đường phân giác DH, EH nên H là giao điểm

của ba đường phân giác trong DEF  FH  là đường phân giác

của  

o 32 2 F DEF x    .

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Cho  xOy , đường phân giác Oz. Trên đường Ox lấy điểm A sao cho 3 OA cm  . Từ A kẻ đường

thẳng vuông góc với Ox cắt Oz tại H, cắt Oy tại K. Lấy điểm B trên đường Ox sao cho KA là đường phân

giác của góc  OKB . Hạ   HI OK I OK   .

a) Chứng minh AH HI  .

b) Biết 5cm OH  , tính khoảng cách từ điểm H đến BK.

Đáp án

a) Vì H nằm trên đường phân giác của  xOy nên H cách đều

Ox, Oy nên AH HI  .

b) AOH  vuông tại A, áp dụng định lí Pi-ta-go ta có

2 2 5 3 4 AH    (cm).

Ta có H là giao điểm của ba đường phân giác trong của

OBK  nên H cách đều ba cạnh của tam giác đó.

Vậy khoảng cách từ điểm H đến BK bằng 4cm AH  .

Câu 2: Cho ABC  có CF là đường phân giác của góc   C F AB  . Qua F kẻ đường thẳng song song với

BC cắt AC ở E.

a) Chứng minh FEC  là tam giác cân.

b) Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD FE  . Chứng minh FE FD  .

Đáp án

Trang 4

a) // FE BC (giả thiết)   EFC FCD   (hai góc so le trong).

Mà   FCE FCD  (CF là đường phân giác của góc  ACB ) nên   EFC ECF  FEC  cân tại E.

b) Xét FEC  và CDF  có

FE CD  (giả thiết);   EFC FCD  ; FC chung.

Do đó FEC CDF   (c.g.c)

FE FD   (hai cạnh tương ứng).

Dạng 2: Chứng minh ba đường đồng quy, ba điểm thẳng hàng

Phương pháp giải

Vận dụng tính chất ba đường phân giác

của tam giác: “Ba đường phân giác của

một tam giác cùng đi qua một điểm.

Điểm này cách đều ba cạnh của tam

giác đó”.

Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ các đường phân

giác BD, CE. Lấy M là trung điểm của BC. Chứng minh

rằng

a) AM là đường phân giác của góc  BAC ;

b) Ba đướng thẳng AM, BD, CE đồng quy.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác AMB  và AMC  có

AB AC  (do ABC  cân tại A);

BM CM  (do M là trung điểm BC);

Cạnh AM chung.

Do đó AMB AMC   (c.c.c)   BAM CAM   (hai góc tương ứng).

Vậy AM là đường phân giác của góc  BAC .

b) Xét ABC  có AM, BD, CE là các đường phân

giác nên cùng đi qua một điểm hay ba đường thẳng

AM, BD, CE đồng quy.

Ví dụ mẫu

Ví dụ. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Các đường phân giác ngoài tại đỉnh B và C cắt nhau ở E.

Chứng minh rằng ba …