Chuyên đề tính chất ba đường cao trong tam giác

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ

BÀI 9. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được khái niệm về đường cao của tam giác, tính chất ba đường cao trong tam giác và các

đường đồng quy trong tam giác cân.

 Kĩ năng

+ Vận dụng được các tính chất của đường cao để giải toán.

Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định nghĩa đường cao của tam giác

Đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa

cạnh đối diện của tam giác gọi là đường cao của tam giác đó.

Mỗi tam giác có 3 đường cao.

Tính chất ba đường cao của tam giác

 Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm

đó được gọi là trực tâm của tam giác.

 Trong hình bên AD, BE, CF lần lượt là các đường cao hạ từ

A, B, C của ABC  . H là giao điểm của 3 đường cao và được gọi là

trực tâm của tam giác.

Các định lí về đường cao trong tam giác

Định lí 1: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với

cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và

đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.

Định lí 2: Trong một tam giác, nếu hai trong bốn loại đường

(đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao cùng xuất phát từ

một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện) trùng nhau

thì tam giác đó là tam giác cân.

Lưu ý: Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba

đỉnh của tam giác, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh

của tam giác là bốn điểm trùng nhau.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Xác định trực tâm của tam giác

Phương pháp giải

Để xác định trực tâm của tam

giác, ta đi tìm giao điểm của hai

đường cao trong tam giác đó.

Ví dụ: Cho ABC  nhọn, có H là trực tâm. Xác định trực tâm của

, , HAB HAC HBC    .

Hướng dẫn giải

Trang 3

Vì H là trực tân của ABC  , nên

, , AH BC BH AC CH AB    .

Xét HAB  ta có BC AH  và AC BH 

 C BC AC C     là trực tâm HAB  .

Tương tự ta có B là trực tâm HAC  và A là trực tâm HBC  .

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho ABC  có  o 70 A  , AB AC  , đường phân giác góc A

cắt BC tại D, BF AC  tại F, E thuộc AC sao cho AE AB  . Xác

định trực tâm ABE  và tính  DHF .

Hướng dẫn giải

Gọi  I AD BE   .

Vì AB AE  nên ABE  cân tại A.

Mặt khác AD là phân giác góc A của ABC 

AI  là đường cao của ABE  .

BF AE BF   là đường cao của ABE  .

Mà  H BF AI   nên H là trực tâm ABE  .

Xét HEF  có   o 90 FHE FEH   . (1)

Xét HIE  có   o 90 EHI IEH   . (2)

Từ (1) và (2) ta có       o o 180 180 FHD FHE EHI FEH IEH FEI        .

Vì ABE  cân tại A nên    o o o

o 180 180 70 55 2 2 BAE AEB ABE      

  o o o o 180 180 55 125 EHD FEI      

Ví dụ 2. Cho ABC  đều, G là trọng tâm của tam giác. Xác định trực tâm các tam giác GAB, GAC, GBC.

Hướng dẫn giải

Vì ABC  đều, G là trọng tâm nên G cũng là trực tâm của ABC 

; ; AG BC BG AC CG AB     .

Xét GAB  có ; BC AG AC BG   .

Trang 4

Mà  C AC BC   nên C là giao của 2 đường cao trong ABG 

C  là trực tâm GAB  .

Tương tự B là trực tâm GAC  ; A là trực tâm GBC  .

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Cho ABC  vuông tại A, đường cao AH. Gọi trung điểm của BH là D, trung điểm của AH là E. Xác định trực tâm ADE  .

Đáp án

Xét bài toán phụ nếu ABC  có M, N lần lượt là trung

điểm AB và AC thì // MN BC và 1 2 MN BC  .

Thật vậy, trên tia đối của tia NM lấy điểm P sao cho

NP MN  .

Xét NAM  và NCP  có AN NC  ;   ANM CNP  (đối đỉnh) và MN NP  .

Do đó NAM NCP   (c.g.c) MA CP   và   MAN NCP  (hai cạnh và hai góc tương ứng).

Hai góc  ; MAN NCP ở vị trí so le trong nên // MA CP   BMC MCP   (hai góc so le trong).

Xét BMC  và PCM  có

MB CP  (cùng bằng MA);   BMC PCM  (chứng minh trên);

MC là cạnh chung.

Do đó BMC PCM   (c.g.c) BC MP   và   BCM CMP  (hai cạnh và hai góc tương ứng).

Hai góc  ; BCM CMP ở vị trí so le trong nên // MN BC .

Lại có 2 MP MN NP MN    (do cách vẽ).

Suy ra 2 BC MN  hay 1 2 MN BC  .

Xét HAB  có D là trung điểm BH, E là trung điểm AH, theo kết quả bài toán trên // DE AB .

Xét ADE  …