Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Đề 1 - Năm học 2020-2021 - Vương Thị Mỹ Hòa (Có đáp án)

NGHỈ TRÁNH DỊCH CORONA: LUYỆN ĐỀ THI HSG TOÁN 6. NĂM 2020 – 2021

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA MH Cơ sở 1: số 43A Nguyễn Huy Oánh, khối 12, phường Trường Thi, tp Vinh, Nghệ An Cơ sở 2: số 22, đường Thái Phiên, tp Vinh, tỉnh Nghệ An Cơ sở 3: Xóm Tân Phong, xã Nghi Phong, Nghi Lộc Nghệ An Cơ sở 4: xóm 9, xã Nghi Ân, thành phố Vinh, tỉnh Nghệ An

Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hòa. Sđt: 0917728930; 0969813358

ĐỀ 1 (90 PHÚT) Câu 1 : (3 điểm) a. Tìm các số tự nhiên x, y. sao cho (2x + 1)(y – 5) = 12

b. Tìm số tự nhiên sao cho 4n-5 chia hết cho 2n-1;

c. Tìm tất cả các số B = , biết rằng số B 99

Câu 2: (1 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số sao cho và

Câu 3: (2 điểm) a. Tìm n để n2 + 2006 là một số chính phương

b. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số.

Câu 4: (2 điểm) Cho 10 số tự nhiên bất kỳ : a1, a2, ....., a10. Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10.

Câu 5: (2 điểm) Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đường thẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng.

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ 1 Câu 2: (3 điểm)

a.(1đ): Ta có 2x+1: y-5 là ước của 12

12= 1.12=2.6=3.4 (0,25đ)

do 2x+1 lẻ => 2x+1 =1 hoặc 2x+1=3 (0,25đ)

 2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17 hoặc 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 (0,25đ)

vậy (x,y) = (0,17); (1,9) (0,25đ)

b.(1đ) Ta có 4n-5 = 2( 2n-1)-3 (0,25đ)

để 4n-5 chia hết cho 2n - 1 => 3 chia hết cho 2n - 1 (0,25đ)

=> * 2n - 1=1 => n =1

* 2n – 1 = 3 => n = 2 (0,25đ)

Vậy n = 1 ; 2 (0,25đ)

c. (1đ) Ta có 99=11.9

B chia hết cho 99 => B chia hết cho 11và B chia hết cho 99 (0,25đ)

*B chia hết cho 9 => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho 9

(x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 hoặc x+y =15

B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11

x-y=9 (loại) hoặc y-x=2 (0,25đ)

y-x=2 và x + y = 6 => y = 4; x = 2 (0,25đ)

62xy427 M

abc 1 2  n abc 2) 2 (  n cba

DeThi.edu.vn

y-x = 2 và x + y = 15 (loại) vậy B = 6224427 (0,25đ)

Câu 2: (2 điểm) = 100a + 10 b + c = n2 - 1 (1)

= 100c + 10 b + c = n2 – 4n + 4 (2) (0,25đ)

Từ (1) và (2) 99(a – c) = 4 n – 5 4n – 5 99 (3) (0,25đ)

Mặt khác: 100 n2-1 999 101 n2 1000 11 n 31 39 4n – 5 119 (4) ( 0,25đ)

Từ (3) và (4) 4n – 5 = 99 n = 26

Vậy: = 675 ( 0,25đ)

Câu 3: (2 điểm)

a) Giả sử n2 + 2006 là số chính phương khi đó ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a Z)

a2 – n2 = 2006 (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm).

+ Thấy : Nếu a, n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái của (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm).

+ Nếu a, n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (a-n) 2 và (a+n) 2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4 nên không thỏa mãn (*) (0,25 điểm).

Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phương. (0,25 điểm).

b) n là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3. Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1

do đó n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3.

Vậy n2 + 2006 là hợp số. ( 1 điểm).

Bài 4: (2 điểm) Lập dãy số .

Đặt B1 = a1.

B2 = a1 + a2

B3 = a1 + a2 + a3

...................................

B10 = a1 + a2 + ... + a10 .

Nếu tồn tại Bi ( i= 1,2,3...10). nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh.

Nếu không tồn tại Bi nào chia hết cho 10 ta làm như sau:

Ta đem Bi chia cho 10 sẽ được 10 số dư ( các số dư  { 1,2.3...9}). Theo nguyên tắc Diriclê, phải có ít nhất 2 số dư bằng nhau. Các số Bm -Bn, chia hết cho 10 ( m>n)  ĐPCM.

Bài 5: (2 điểm) Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng  có : 2005x 2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần  số giao điểm thực tế là: (2005x 2006):2 = 1003x 2005 = 2011015 giao điểm.

abc

cba

  

         

 

abc

 

 

DeThi.edu.vn