Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Đề 3 - Năm học 2020-2021 - Vương Thị Mỹ Hòa (Có đáp án)

NGHỈ TRÁNH DỊCH CORONA: LUYỆN ĐỀ THI HSG TOÁN 6. NĂM 2020 – 2021

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA MH Cơ sở 1: số 43A Nguyễn Huy Oánh, khối 12, phường Trường Thi, tp Vinh, Nghệ An Cơ sở 2: số 22, đường Thái Phiên, tp Vinh, tỉnh Nghệ An Cơ sở 3: Xóm Tân Phong, xã Nghi Phong, Nghi Lộc Nghệ An Cơ sở 4: xóm 9, xã Nghi Ân, thành phố Vinh, tỉnh Nghệ An

Giáo viên: Vương Thị Mỹ Hòa. Sđt: 0917728930; 0969813358

ĐỀ 3. LUYỆN ĐỀ THI HSG TOÁN 6. NĂM 2020 – 2021: (120 PHÚT) Câu 1. ( 2,0 điểm) Cho A = 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 220. Tìm chữ số tận cùng của A. Câu 2. ( 1,0 điểm) Số tự nhiên n có 54 ước. Chứng minh rằng tích các ước của n bằng n27. Câu 3. ( 1,5 điểm) Chứng minh rằng: n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n. Câu 4. ( 1,0 điểm)Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho các số 7p + q và pq + 11 cũng là các số nguyên tố. Câu 5. ( 1,5 điểm) a) Tìm ƯCLN( 7n +3, 8n - 1) với (n €N*). Tìm điều kiện của n để hai số đó nguyên tố cùng nhau.

b) Tìm hai số tự nhiên biết: Hiệu của chúng bằng 84, ƯCLN của chúng bằng 28 và các số đó trong khoảng từ 300 đến 440.

Câu 6. ( 1,0 điểm) Tìm các số nguyên x, y sao cho: xy – 2x - y = -6. Câu 7. ( 2,0 điểm) Cho xAy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay.

a. Tính BD. b. Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK.

DeThi.edu.vn

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ 2

Câu Đáp án Điểm A. 2 = (2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 220.). 2 = 22 + 23 + 24 + 25 + . . . + 221. Nên A.2 - A = 221 -2  A = 221 - 2

0,5 0,5 Cu 1

(2,0 điểm) Ta có : 221 = 24.5+1 = (24)5 . 2 = 165 .2 ... 165 có tận cùng là 6 . Nên 165 . 2 có tận cùng là 6. 2 có tận cùng là 2. Vậy A có tận cùng là 2.

0,5 0,5

Câu 2.

(1,0 điểm)

Số tự nhiên n có 54 ước. Chứng minh rằng tích các ước của n bằng n27. gọi tập hợp Ước dương của số n là Ư(n) = {b1;b2;....b54}. VD: Ư(6) = {1; 2; 3; 6} => 6 = 1.6 = 2.3 => ta có: n = b1.b54 = ... = b22.b23 với b1 ≠ b2 ≠ .... ≠ b54 => b1. b2 ... b53. b54 = (b1.b54) (b2.b53) …. (b26.b27) = n.n….n (có 54:2 = 27 thứ số n) => b1. b2 ... b53. b54 = n27 (đpcm)

0,25

0,25 0,25

0,25

Câu 3

(1,5 điểm)

Với mọi số tự nhiên n ta có các trường hợp sau: TH1: n chia hết cho 5 thì tích chia hết cho 5. TH 2: n chia cho 5 dư 1 thì n = 5k +1  4n +1= 20k + 5 chia hết cho 5  tích chia hết cho 5. TH3: n chia cho 5 dư 2 thì n = 5k +2  2n +1= 10k + 5 chia hết cho 5  tích chia hết cho 5. TH4: n chia cho 5 dư 3 thì n = 5k +3  3n +1= 15k + 10 chia hết cho 5  tích chia hết cho 5. TH 5: n chia cho 5 dư 4 thì n = 5k +4  n +1= 5k + 5 chia hết cho 5  tích chia hết cho 5. Vậy : n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n.

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 4

(1,0 điểm)

Nếu pq + 11 là số nguyên tố thì nó phải là số nguyên tố lẻ ( vì pq+11> 2)  pq là số chẵn  ít nhất 1 trong 2 số phải chẵn, tức là bằng 2.

+ Giả sử p = 2. Khi đó 7p + q = 14 + q ; pq + 11 = 2q + 11. Thử q = 2( loại) q = 3( t/m) q > 3 có 1 số là hợp số.  p = 2 và q = 3.

+ Giả sử q = 2. Giải TT như trên ta được p = 3. Vậy p = 2; q = 3 hoặc p = 3; q = 2.

0,25

0,25 0,25

0,25

Câu 5

(1,5 điểm)

a) Gọi ƯCLN( 7n +3, 8n - 1) = d với (n €N*) Ta có: 7n +3 d, 8n - 1 d.  8.( 7n +3) – 7.( 8n - 1) d  31 d  d = 1 hoặc 31. Để hai số đó nguyên tố cùng nhau thì d ≠ 31. Mà 7n + 3 31  7n + 3 - 31 31 7(n - 4) 31

 n – 4 31( vì 7 và 31 nguyên tố cùng nhau)  n = 31k + 4( với k là số tự nhiên) Do đó d ≠ 31 n ≠ 31k + 4.

0,25

0,25 0,25

M M

M M

M M M

M

DeThi.edu.vn