Khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

1 Thầy giáo : LÊ CÔ NG MINH (Nhận đào tạo HSG toán hóa cấp 2 )

SĐT : 0961462275

KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

Năm học 2018-2019

Môn : Toán lớp 6 Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 :(5 điểm )

1. Thực hiện phép tính

a) 𝐴=

1

1.3 +

1

2.4 +

1

3.5 +

1

4.6 + ⋯+

1

2016.2018 +

1

2017.2019

b)

5.311−4.312

39.52−36.63

2. Tìm phân số dương bất kỳ biết rằng khi tăng cả tử lẫn mẫu thêm 3

đơn vị thì phân số đó tăng thêm

1

6

Câu 2 : (5 điểm )

1. Tìm số nguyên x,y sao cho : |𝑥−2016| + |𝑥−2017| + |𝑦−2018| + |𝑥−2019| = 3

2. Chứng tỏ rằng:

2

21 +

3

22 +

4

23 + ⋯+

2018

22017 +

2019

22018 < 3

Câu 3 :(3 điểm )

1. Tìm n để : 1! + 2! + 3! + ⋯+ 𝑛! là số chính phương 2. Tìm a và x sao cho : (12 + 3𝑥)2 = 1𝑎96 ̅̅̅̅̅̅̅ ( 𝑎∈𝑁, 𝑥∈𝑧) Câu 4 :(5 điểm) Cho 𝑥𝑂𝑦 ̂ = 3𝑥𝑂𝑧 ̂ và 𝑧𝑂𝑦 ̂ = 900. Vẽ tia Om là phân giác góc 𝑧𝑂𝑦 ̂

1. Tính góc 𝑥𝑂𝑦 ̂ , 𝑥𝑂𝑧 ̂ 2. Tính góc 𝑥𝑂𝑚 ̂ 3. Lấy điểm A∈Ox sao cho OA = a (cm). Lấy điểm A1, A2, A3,..., A2019 ∈ OA

sao cho OA1 =

1

𝑂𝐴 , OA2 = 2OA1 , OA3 =

3

2 OA2 .....OA2019 = 2019

2018 OA2018 .

Hãy tính tổng sau : 𝑆=

1

𝑂𝐴1+𝑂𝐴2+𝑂𝐴3+⋯+𝑂𝐴2019

Câu 5 : ( 2 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên n để :

2020𝑛+ 𝑛2020 + 2020𝑛⋮3

DeThi.edu.vn

2 Thầy giáo : LÊ CÔ NG MINH (Nhận đào tạo HSG toán hóa cấp 2 )

SĐT : 0961462275

Hướng Dẫn Câu 1 : 1. Hs tự làm :

a) Luu ý 2𝐴= (

2

1.3 +

2

3.5 + ⋯+

2

2017.2019) + (

2

2.4 +

2

4.6 + ⋯+

2

2016.2018)

sau đó các bạn tính b) Tự giải

2. Gọi phân số dương là

𝑎

𝑏 khi tăng cả tử lẫn mẫu thêm 3 đơn vị ta được

phân số mới là

𝑎+3

𝑏+3 theo giả thiết ta có

𝑎+3

𝑏+3 −

𝑎

𝑏=

1

6 →

𝑎𝑏+3𝑏−𝑎𝑏−3𝑎

𝑏(𝑏+3) =

1

6 →

𝑏−𝑎

𝑏(𝑏+3) =

1

18 vì

1

18 là số tối giản mà a, b

dương nên b( b + 3 ) =18 =2.9 = 3.6 (vì b = 1 suy ra a =0 loại) ta có

b = 2 (loại vì b+3 = 5 ≠ 6 ) và b = 3 suy ra a = 2 vậy phân số thõa mãn bài ra 2

3

Câu 2:

1. Ta đã biết |𝑎| + |𝑏| ≥|𝑎+ 𝑏| và |𝑎| + |𝑏| ≥0 ta có:

|𝑥−2016| + |𝑥−2019| = |𝑥−2016| + |2019 −𝑥| ≥|𝑥−2016 + 2019 −𝑥| = 3 hay ta có |𝑥−2016| + |𝑥−2019| ≥3 →|𝑥−2017| + |𝑦−2018| ≤0 →𝑥−2017 = 0 𝑣à 𝑦−2018 = 0 →𝑥= 2107 và

𝑦= 2018 Vậy cặp (x;y) =(2017;2018)

2. Nhận thấy rằng :

𝑛+1

2𝑛=

𝑛+2

2𝑛−1 −

𝑛+3

2𝑛 ta thay n = 1,2,3.....,2018 ta có :

2 21 = 3 −4

21

3 22 = 4

21 −5

22

4 23 = 5

22 −6

23

… … … … … ..

DeThi.edu.vn

3 Thầy giáo : LÊ CÔ NG MINH (Nhận đào tạo HSG toán hóa cấp 2 )

SĐT : 0961462275

2018 22017 = 2019

22016 −2020

22017

2019 22018 = 2020

22017 −2021

22018

Cộng vế với vế ta được : 𝑉𝑇= 3 −

2021

22018 < 3(𝑑𝑝𝑐𝑚)

Câu 3 :

1. Xét với n = 1 →1! = 12

Xét với n = 2 →1! + 2! = 1 + 1.2 = 3(𝑙𝑜ạ𝑖) Xét với n = 3→1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 = 32 Xét với n =4 →1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33(𝑙𝑜ạ𝑖) Ta nhận thấy rằng 5! ; 6!; …. trở đi có tận cùng là 0 do đó : 1! + 2! + 3! + ⋯+ 𝑛! với 𝑛≥5 thì luôn có tận cùng là 3 mà số chính phương không có tận cùng là 3 nên loại Vậy n = 1 và n = 3 thõa mãn 2. Ta có :(12 + 3𝑥)2 = 9(4 + 𝑥)2 = 1𝑎96 ̅̅̅̅̅̅̅ →1𝑎96 ̅̅̅̅̅̅̅ ⋮9 →1 + 𝑎+ 9 + 6 ⋮9 hay 𝑎+ 16 ⋮9 →𝑎= 2 thay a = 2 ta được 9(4 + 𝑥)2 = 1296 →(4 + 𝑥)2 = 144 = (±12)2 →4 + 𝑥= 12 ℎ𝑜ặ𝑐 4 + 𝑥= −12 suy ra

𝑥= 8 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥= −16

Câu 4 : Ý 1,2 các bạn tự làm và lưu ý : ta phải xét hai trường hợp là Oz nằm trong và nằm ngoài góc xOy

3. Theo bài ra ta có :

𝑂𝐴1 =

1

𝑂𝐴=

1

𝑎; 𝑂𝐴2 =

2

𝑂𝐴1 =

2

𝑎; 𝑂𝐴3 =

3

2 𝑂𝐴2 =

3

𝑎… . . 𝑂𝐴2019 =

2019

2018 𝑂𝐴3 =

2019

𝑎 thay vào biểu thức ta có :

𝑆= 1 1 𝑎+ 2

𝑎+ 3

𝑎+ ⋯+ 2019

𝑎

= 𝑎 1 + 2 + 3 + ⋯+ 2019 = 2𝑎 2019.2020

Câu 5 : Đặt2020𝑛+ 𝑛2020 + 2020𝑛⋮3 (1)

DeThi.edu.vn