Đáp án đề thi lập đội tuyển dự thi Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Vòng 1 - Năm học 2015-2016 - Sở giáo dục và đào tạo Đăk Lăk

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẮK LẮK

KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA

NĂM HỌC 2015 - 2016

MÔN: TOÁN (Thời gian: 180 phút, không kể phát đề)

Ngày thi: 22/10/2014

ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

(gồm 4 trang) A. ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM

Câu Đáp án Điểm 1 Giải phương trình:  5 3 15 45 27 0 1 x x x     5

Đặt 2 3 x t  , thay vào phương trình ta được

5 3 288 3 360 3 90 3 27 0 t t t    

1

  5 3 2 16 20 5 3 t t t    

5 3 16 20 5 6 t t t cos     

1

Đặt t cos 

Ta có 5 3 16 20 5 6 cos cos cos cos       

1

Do 5 3 5 16 20 5 cos cos cos cos       

Nên ta được 2 5 2 3 , {0,1,2,3,4} 6 5.6 5 k cos cos x cos k               

1

Do phương trình  1 có tối đa 5 nghiệm nên phương trình  1 có đúng 5

nghiệm là: 2 2 3 , {0,1,2,3,4} 5.6 5 k x cos k           

1

2 Tìm hàm f(x) liên tục trên  và thỏa mãn:    3 3 , . f x f x x x    5

Ta có      3 3 , 3 , 1 3 3 x x f x f x x x f x f x               

Đặt  3 x g x  . Xét dãy số  nx với  

1

1 n n

x

x g x 

   



1

DeThi.edu.vn

Ta có

 

 

 

1 2 1

2 3 2

1 1

3

3 ...

3

n n n

x x g x

x x g x

x x g x  

              

suy ra 1

1 3 n n x x   nên 0 lim nx n

 

Do hàm  f x liên tục trên  nên    0 0 lim nx f f n

  

Lần lượt thay x bởi 1 2 ; ;...; n x x x vào  1 ta được

 

 

 

1 1 1

2 2 2

1 1 1

3 3 3

3 3 3

3 3 3

n n n

x x f x f

x x f x f

x x f x f   

                                  



   

   

   

1 1 2

1 2 3 2

1 1 1

3 3

3 3

3 3 n n n

x f x f x

x f x f x

x f x f x  

         

     



   

   

   

1 1 2 2

1 2 3 3

1 1

1 3 3 1 3 3

1 3 3 n n n

x f x f x

x f x f x

x f x f x 

         

     



1

Suy ra    

1 2 4 2 2

1 1 1 1 1 1 ... 3 3 3 3

n n

n f x f x x

                                      

   

2 2 2 2

1 1

1 1

1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 3 9 3 8 1 9

n n

n n

n n f x x f x x

 

                                

.

1

Lấy giới hạn 2 vế. do  f x là hàm số liên tục nên ta được:

   1 1 8 8 x x f x f x   

1

Thử lại :  8

x f x  là hàm liên tục trên  và

   3 9 9 3 3 3. ; 8 8 8 8 x x x x f x f x x x       thỏa mãn điều kiện bài toán

1

3 Cho tam giác ABC, M là điểm trong của tam giác. Gọi khoảng cách từ M đến các cạnh BC, AC, AB lần lượt là ; ; a b c d d d , khoảng cách từ M

5

DeThi.edu.vn

đến các đỉnh A, B, C lần lượt là ; ; x y z . Chứng minh rằng:

2

a b c

x y z d d d     

Gọi độ dài các cạnh là ; ; a b c. Kẻ , BH MA CK MA   , gọi D là giao của AM và BC , suy ra

BH CK BC  

1

Có 2 . . ;2 . . MAB c MAC b S c d BH x S b d CK x       Do    . 1 b c BH CK BC x BH CK x BC xa bd cd        

1

Gọi M’ đối xứng với M qua phân giác góc A, khi đó M’A=MA=x và khoảng cách từ M’ đến AB bằng khoảng cách từ M đến AC bằng b d

1

Áp dụng  1 cho điểm M’ ta được c b c b b c xa bd cd x d d a a     

Tương tự ta cũng có ;z c a b a a c a b y d d d d b b c c    

1

Suy ra 2 2 2 a b c a b c b c a c b a x y z d d d d d d c b c a a c                             

2

a b c

x y z d d d      

Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC đều và M là tâm tam giác.

1

DeThi.edu.vn