Lý thuyết và bài tập Đại số Lớp 12 - Bài 1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Tài liệu ôn thi THPT và LTĐH – GV: Đoàn Văn Tính - 0946069661 Trang 1

I - TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Định nghĩa

Giả sử K là một khoảng , hoặc đoạn hoặc nửa khoảng . Giả sử hàm số y= f(x) xác định trên K.

Ta nói

 Hàm số y = f(x) đồng biến ( tăng ) trên K nếux1, x2 K, x1 < x2  f(x1) < f(x2)

 Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếux1, x2 K, x1 < x2 f(x1) > f(x2).

2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lí

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu  f' x 0với mọi  x Kthì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng K

b) Nếu  f' x 0 với mọi  x Kthì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng K

Chú ý: Nếu  f' x 0  với mọi  x K thì hàm số f(x) không đổi trên K.

II – QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Quy tắc

B1. Tìm tập xác định.

B2. Tính đạo hàm f ’(x) và tìm các điểm ix ( i =1, 2, ...n ) sao cho '( ) i f x = 0 hoặc '( ) i f x không xác định.

B3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

B4. Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

DeThi.edu.vn

Tài liệu ôn thi THPT và LTĐH – GV: Đoàn Văn Tính - 0946069661 Trang 2

2. Áp dụng

DẠNG 1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

a. Hàm số bậc ba

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số   3 2 y x – 3x 4.

Giải.

Tập xác định : D 

Ta có: 2 y' 3x – 6x 

x 0 , y(0) 4 y' 0 x 2 , y(2) 0      

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; ) 0 và (2 ; ) ;

Hàm số nghịch biến trên   0;2 .

Tương tự với hàm số y = 3 2 1 1 2 2 3 2 x x x   

Giải.

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................

........................................................................................................................................................ ......................................................................................................

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................

DeThi.edu.vn

Tài liệu ôn thi THPT và LTĐH – GV: Đoàn Văn Tính - 0946069661 Trang 3

Ví dụ 2: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

3

2 x y x 3x 1 3    

Giải.

Tập xác định : D 

Ta có:    2 y' x 2x 3

y' = 0 ( vô nghiệm )

Bảng biến thiên

Hàm số luôn đồng biến trên D

Tương tự với hàm     3 2 y x 2x 8x 5

................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... …