Chuyên đề Bài tập trắc nghiệm Toán học 12 - Nguyên hàm tích phân và ứng dụng

Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng T r a n g 1

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

I. Nguyên hàm và các tính chất cơ bản

Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hay một nửa khoảng

1. Định nghĩa

Cho hàm số  f x xác định trên K. Hàm số  F x được gọi là nguyên hàm của

hàm số  f x trên K nếu   ' F x f x  với mọi x thuộc K.

Định lý 1

1. Nếu  F x là một nguyên hàm của hàm số  f x trên K thì với mỗi hằng số

C, hàm   G x F x C   cũng là một nguyên hàm của hàm  f x trên K.

2. Đảo lại nếu  F x và  G x là hai nguyên hàm của hàm số  f x trên K thì

tồn tại hằng số C sao cho   F x G x C   .

Định lý 2

Nếu  F x là một nguyên hàm của  f x trên K thì mọi nguyên hàm của  f x

trên K đều có dạng  F x C  , với C là một hằng số.

Người ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.”

Từ hai định lý trên ta có

- Nếu  F x là một nguyên hàm của hàm số  f x trên K thì  , F x C C  ¡ là

họ tất cả các nguyên hàm của  f x trên K. Kí hiệu

  f x dx F x C    .

2. Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1

  ' f x dx f x C   

Tính chất 2

  kf x dx k f x dx   

Tính chất 3

    f x g x dx f x dx g x dx          

Vấn đề cần nắm:

I. Nguyên hàm và các tính chất cơ bản II. Hai phương pháp cơ bản tìm nguyên hàm III. Khái niệm và tính chất cơ bản tích phân IV. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân V. Ứng dụng hình học của tích phân

Chủ đề III

STUDY TIP

Từ định nghĩa nguyên hàm ta có được:

    ' f x dx f x  

Chú ý

Biểu thức

chính là vi phân của nguyên hàm của

, vì

 f x dx

 F x

 f x

   ' dF x F x dx f x  

Từ đây ta suy ra hệ quả

Với

ta có

  , 0 u ax b a   

  f ax b dx  

  1 F ax b C a   

DeThi.edu.vn

Công Phá Toán – Lớp 12 Ngọc Huyền LB

II. Hai phương pháp cơ bản để tìm nguyên hàm

1. Phương pháp đổi biến số

Định lý 3

Cho hàm số  u u x  có đạo hàm liên tục trên K và hàm số  y f u  liên tục

sao cho hàm hợp  f u x     xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm

của f thì    ' f u x u x dx F u x C           

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm  

10 1 x dx   .

Lời giải

Theo định lý trên thì ta cần viết về dạng  f u du  .

Mà   ' 1 ' 1 u x   , do vậy

           

11 10 10 10 1 1 1 . 1 ' 1 1 11

x x dx x x dx x d x C              .

Từ ví dụ trên ta có các bước gợi ý để xử lý bài toán tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến.

Dạng 2: Gửi vào ngân hàng một số tiền a đồng với lãi suất x% = r mỗi tháng theo hình thức lãi kép. Gửi theo phương thức có kỳ hạn m tháng. Tính số tiền cả gốc lẫn lãi A sau n kỳ hạn.

Từ “STUDY TIP” ở bên ta thấy đưa về một ghi nhớ quan trọng: Trong cùng một kỳ hạn, lãi suất sẽ giống nhau mà không được cộng dồn vào vốn để tính lãi kép. Ví dụ kỳ hạn là 3 tháng thì lãi suất tháng 1 là ar, tháng 2, tháng 3 cũng là ar, sau hết kỳ hạn 3 tháng mà không rút ra thì số tiền lãi một kỳ hạn sẽ được cộng dồn vào tiền gốc.

Lời giải tổng quát

1. Đặt  u g x  .

2. Biến đổi x và dx về u và du.

3. Giải bài toán dưới dạng nguyên hàm hàm hợp  f u du  , sau đó thay biến x

vào nguyên hàm tìm được và kiểm tra lại kết quả.

Ta đến với ví dụ 2

STUDY TIP

Với phương pháp đổi biến ta cần chú trọng công thức mà suy ra từ định lý như sau:

Nếu , khi đó  u f x 

 ' du f x dx 

Nếu tính nguyên hàm theo biến mới thì sau

khi tính nguyên hàm xong, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi .

   u u u x 

 u x

DeThi.edu.vn