Bài tập Toán Lớp 12 - Tỉ số thể tích khối lăng trụ (Có lời giải)

TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

CÁC CÔNG THỨC TÍNH NHANH TỈ LỆ THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP

1. Khối trụ tam giác

 Bài toán 1: Gọi V là thể tích khối lăng trụ, 4 V là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của

lăng trụ. Khi đó: 4 1 3 V

V  .

Cho hình lăng trụ tam giác . ' ' ' ABC A B C . Khi đó: . ' ' '

. ' ' '

1 3

C A B C

ABC A B C

V V  .

 Bài toán 2: Gọi V là thể tích khối lăng trụ, 5 V là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của

lăng trụ. Khi đó: 5 2 3 V

V  .

Cho hình lăng trụ tam giác . ' ' ' ABC A B C . Khi đó: ' '

. ' ' '

2 3

A B ABC

ABC A B C

V V  .

 Bài toán 3: Cho hình lăng trụ tam giác . ' ' ' ABC A B C . Mặt phẳng cắt các đường thẳng ', ', ' AA BB CC

lần lượt tại , , M N P sao cho , , ' ' ' AM BN CP a b c AA BB CC    thì .

. ' ' ' 3

ABC MNP

ABC A B C

V a b c V

  

2. Khối hộp

DeThi.edu.vn

 Bài toán 1: Gọi V là thể tích khối hộp, 4 V là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối

hộp và 4 đỉnh này thuộc hai đường chéo của hai mặt song song . Khi đó: 4 1 3 V

V  .

 Bài toán 2: Gọi V là thể tích khối hộp, 4 V là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối

hộp ( trừ trường hợp 4 đỉnh này thuộc hai đường chéo của hai mặt song song) . Khi đó: 4 1 6 V

V  .

 Bài toán 3: Gọi V là thể tích khối hộp, 5 V là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 8 đỉnh của khối

hộp (1 đỉnh thuộc mặt phẳng đáy, 4 đỉnh còn lại thuộc mặt phẳng đáy còn lại). Khi đó: 5 1 3 V

V  .

 Bài toán 4: Cho hình hộp . ' ' ' ' ABCD A B C D . Mặt phẳng cắt các đường thẳng ', ', ', ' AA BB CC DD lần

lượt tại , , , M Q P N sao cho , , , ' ' ' ' AM BQ CP DN a b c d AA BB CC DD     và a c b d    thì:

.

. ' ' ' ' 4 2 2

ABCD MQPN

ABCD A B C D

V a b c d a c b d V

      

Chú ý: Hai khối đa diện đồng dạng với tỉ số k thì tỉ lệ thể tích của chúng là 3 k hay 3 1

2

V k V 

MỨC ĐỘ TRUNG BÌNH KHÁ

DeThi.edu.vn

Câu 1. Cho khối lăng trụ . ABC A B C  có thể tích bằng V . Tính thể tích khối đa diện BAA C C  .

A. 3

4

V . B. 2

3

V . C. 2

V . D. 4

V .

Lời giải

Chọn B

Mặt phẳng   BA C  chia khối lăng trụ . ABC A B C  thành hai khối: . B AA C C  và . B A B C 

. . . B AA C C ABC A B C B A B C V V V       .

Khối chóp . B A B C và khối lăng trụ có chung đáy và chung chiều cao .

1 3 B A B C V V   

1 2 3 3 BAA C C

V V V V      .

Câu 2. Cho lăng trụ . ABC A B C , M là trung điểm CC. Mặt phẳng   ABM chia khối lăng trụ thành

hai khối đa diện. Gọi 1 V là thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C và 2 V là thể tích khối đa diện còn lại. Tính

tỉ số 1

2

V V .

A. 1

5 . B. 1

6 . C. 1

2 . D. 2

5

Lời giải

Chọn B

1 V là thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C tức là 1 .

1 . 3 M ABC ABC V V S MC  

2 V là thể tích khối đa diện còn lại 2 . 1

1 5 . . . 6 6 ABC A B C ABC ABC ABC V V V S CC S CC S CC          

DeThi.edu.vn

Khi đó ta có tỉ số: 1

2

1 1 . 1 3 6 5 5 5 . . 6 6

ABC ABC

ABC ABC

S MC S CC V V S CC S CC

     

.

Câu 3. Khối lăng trụ . ABC A B C  có thể tích bằng 6 . Mặt phẳng   A BC   chia khối lăng trụ thành một

khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác có thể tích lần lượt là

A. 2 và 4. B. 3và 3. C. 4 và 2. D. 1 và 5.

Lời giải

Chọn A

+) Thể tích khôi lăng trụ là:     . , . 6 ABC A B C A B C V d B A B C S      .

+) Thể tích khối chóp tam giác . B A B C  là:

    . . 1 1 1 . , . . .6 2 3 3 3 B A B C A B C ABC A B C V d B A B C S V         .

Vậy thể tích khối chóp tứ giác . B ACC A là: . . . 6 2 4 B ACC A ABC A B C B A B C V V V         .

Câu 4. Cho khối lăng trụ tam giác . ABC A B C  có thể tích V . Gọi M là trung điểm của cạnh CC.

Mặt phẳng   MAB chia khối lăng trụ thành hai phần có tỉ số 1 k . Tìm k ?

A. 2

5 . B. 3

5 . C. 1

5 . D. 1

6 .

Lời giải

Chọn C

DeThi.edu.vn