Xem trước nội dung
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT AN GIANG Năm học 2014 – 2015 Môn : TOÁN Thời gian làm bài : 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (3,0 điểm)
Cho hàm số 𝑦= 2𝑥−1 𝑥−1 (1)
Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số (1) sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại hai điểm A và B với độ dài đoạn AB ngắn nhất. Bài 2: (2,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau đây trên tập xác định của nó:
𝑦= 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 36
√9 −𝑥2 + 1
Bài 3: (2,0 điểm) Giải phương trình sin3 𝑥+ 3 cos 𝑥= 3 sin2 𝑥cos 𝑥+ 2 sin 𝑥 Bài 4: (2,0 điểm) Giải bất phương trình
√𝑥 3 + √2𝑥+ 1
3 < √3𝑥+ 4
3 Bài 5: (2,0 điểm) Giải hệ phương trình
{ 𝑥𝑦= 2𝑥−𝑦 2𝑥3 + 𝑦3 = −2
Bài 6: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A và D có BC = 2 AB, M(4; 0) là trung điểm của BC, đường thẳng AD có phương trình 2𝑥−𝑦+ 1 = 0. Tìm tọa độ các điểm B và C biết rằng hình thang ABCD có diện tích bằng 54
5 và các tọa độ của hai điểm A, B đều dương.
Bài 7: (3,0 điểm) Nhân dịp khách sạn kỷ niệm ngày thành lập, ban quản lý khách sạn thực hiện khuyến mãi như sau: Mỗi đoàn du lịch đến nghỉ ở khách sạn đều chọn ngẫu nhiên hai người để tặng thưởng. Có hai đoàn du lịch cùng đến khách sạn, đoàn thứ nhất có 6 người Việt Nam và 12 người Pháp; đoàn thứ hai có 3 người Việt Nam, 7 người Nga và 2 người Anh. Tính xác suất để cả hai đòan có ít nhất hai người nhận thưởng đều là người Việt Nam.
Bài 8: (4,0 điểm) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho SA = 1
2 AD = 𝑎; SB = 𝑎√3. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. a) Tính theo a thể tích khối chớp S. BMDN. b) Tính cosin góc hợp bởi hai đường thẳng SM và DN. c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và DN. ------Hết------
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
SBD : PHÒNG:
hoctoancapba.com
DeThi.edu.vn
2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT AN GIANG Năm học 2014 – 2015 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
A.ĐÁP ÁN
Bài LƯỢC GIẢI Điểm
Bài 1
𝑦= 2𝑥−1 𝑥−1 (1)
TXĐ 𝐷= ℝ \{1} 𝑦′ = − 1
(𝑥−1)2 ;
lim 𝑥→±∞𝑦= 2 ; lim 𝑥→.1+ 𝑦= +∞ ; lim 𝑥→.1−𝑦= −∞
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 𝑑1: 𝑥= 1 tiệm cận ngang 𝑑2: 𝑦= 2
𝑀∈(𝐶) ⟹𝑀(𝑚; 2 + 1 𝑚−1) ; ĐK 𝑚≠1
Phương trình tiếp tuyến tại 𝑀
𝑦= − 1 (𝑚−1)2 (𝑥−𝑚) + 2 + 1 𝑚−1
A là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng
⟹𝑥𝐴= 1 ; 𝑦𝐴= 2 + 2 𝑚−1
B là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận ngang
𝑦𝐵= 2; 2 = − 1 (𝑚−1)2 (𝑥𝐵−𝑚) + 2 + 1 𝑚−1 ⟺𝑥𝐵= 2𝑚−1
𝐴𝐵= √(2𝑚−2)2 + (− 2 𝑚−1)
2
= 2√(𝑚−1)2 + 1 (𝑚−1)2
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng ta được
(𝑚−1)2 + 1 (𝑚−1)2 ≥2
⟹𝐴𝐵≥2√2 Vậy AB ngắn nhất bằng 2√2 Dấu bằng xảy ra khi (𝑚−1)2 = 1 ⟹𝑚= 0; 𝑚= 2 𝑚= 0 ⟹𝑀(0; 1); 𝑚= 2 ⟹𝑀(2; 3) Vậy tọa độ điểm M cần tìm là (0; 1); (2; 3)
3,0 điểm
Bài 2
𝑦= 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 36
√9 −𝑥2 + 1
Tập xác định 𝐷= [−3; 3] Đặt 𝑡= √9 −𝑥2 𝑑𝑜 𝑥∈[−3; 3] ⟹𝑡∈[0; 3]; 𝑥2 = 9 −𝑡2 Xét hàm số
𝑔(𝑡) = 9 −𝑡2 −36 𝑡+ 1 𝑡𝑟ê𝑛 𝑡ậ𝑝 𝑇= [0; 3]
𝑔′(𝑡) = −2𝑡+ 36 (𝑡+ 1)2
𝑔′(𝑡) = 0 ⟺2𝑡(𝑡+ 1) = 36 ⟺𝑡(𝑡+ 1)2 = 18 ⟺(𝑡−2)(𝑡2 + 4𝑡+ 9) = 0 ⟺𝑡= 2 𝑔(0) = −25 ; 𝑔(2) = −7 ; 𝑔(3) = −9 ⟹max
𝑇 𝑔(𝑡) = −7 𝑘ℎ𝑖 𝑡= 2
2,0 điểm
hoctoancapba.com
DeThi.edu.vn
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
