Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 12 - Năm học 2013-2014 - Trường THPT Thái Thuận (Có đáp án)

SỞ GD&ðT BẮC GIANG TRƯỜNG THPT THÁI THUẬN ðỀ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán lớp 12 Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I (4 ñiểm). Cho hàm số x 2 y x 1 − = + có ñồ thị (C).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số.

2) Chứng minh rằng ñường thẳng ( ):2x y m 0 ∆ + + = luôn cắt ñồ thị (C) tại hai

ñiểm phân biệt A và B thuộc hai nhánh của ñồ thị. Xác ñịnh m sao cho AB ngắn nhất.

Câu II (4 ñiểm). 1) Giải phương trình:

2 2 5 5x 9x sin( 3x) cos( 7x) 2sin ( ) 2cos 2 2 4 2 2 π π π + + − = + − .

2) Giải hệ phương trình: ( )

2 2 xy x y x 2y x,y x 1 2y 3 3

 + + = −  ∈  − + − = 

ℝ.

Câu III (2 ñiểm). Tìm hệ số của số hạng chứa 8 x trong khai triển

n 2 3 2x x   +    

.

Trong ñó n ∈ℕ và thỏa mãn: 4 5 log (n 3) log (n 6) 4 − + + = . Câu IV (2 ñiểm). Tìm m ñể bất phương trình: ( ) x x 2 m.4 m 1 .2 m 1 0 + + − + −> ñúng x ∀∈ℝ. Câu V (6 ñiểm). 1) Cho hình chóp S. ABC có góc ((SBC), (ACB)) = 600, ABC và SBC là các tam

giác ñều cạnh a. (Hình chiếu của S nằm ở miền trong tam giác ABC)

a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ B ñến mặt phẳng (SAC).

b. Xác ñịnh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

2) Trong mặt phẳng Oxy cho ñiểm A(2;–3), B(3;–2), ∆ABC có diện tích bằng 3

2 ;

trọng tâm G của ∆ABC thuộc ñường thẳng (d): 3x – y – 8 = 0. Tìm tọa ñộ ñiểm C và bán kính ñường tròn nội tiếp ∆ ABC.

Câu VI (2 ñiểm). Cho ba số thực dương a, b, c thỏa:

3 3 3

2 2 2 2 2 2 a b c 1 a ab b b bc c c ca a + + = + + + + + +

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S a b c = + + . ------------------ Hết -------------------- Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ……………………………; Số báo danh: …………………..

DeThi.edu.vn

1

ðÁP ÁN CHỌN HSG TOÁN 12 – 2014 Câu ðáp án ðiểm 1 Học sinh tự giải 2.0 I (4 ñiểm )

2 Pthñgñ chung: 2 2x (3 m)x m 2 0 + + + − = với x 1 ≠− Cm pt có 2 nghiệm pb tm: 1 2 x 1 x < −< 1 2 1 2 x x x x 1 0 ⇔ + + + < 3 0 ⇔−< ñúng với mọi m.

GS 1 1 2 2 A(x ; 2x m), B(x ; 2x m) − − − −

Có 2 2 2 1 2 1 2 1 2 AB 5(x x ) 5 (x x ) 4x x   = − = + −  

2 5 (m 1) 24 30 4

  = − + ≥  

Suy ra min AB 30 = khi m = 1

0.25 0.5 0.25 0.5 0.5

1

( ) ( ) ( )

2 2 5 5x 9x sin( 3x) cos( 7x) 2sin ( ) 2cos 2 2 4 2 2 cos3x cos9x sin 7x sin5x 0

2cos6x cos3x sin x 0

k x 12 6 cos6x 0 x m k, m, n 4 cos3x cos( x) 2 n x 8 2

π π π + + − = + −

⇔ + + − =

⇔ + =

π π  = +   =  π   ⇔ ⇔ = + π ∈Ζ π   = +   π π  = − + 

KL

0.5 0.25 0.5 0.5 0.25

Câu II (4 ñiểm )

2 ðKXð: 3 x 1;y 2 ≥ ≥

Hệ phương trình tương ñương:

2 2 2 (xy x ) x y 2x 2y

x 1 2y 3 3

 + + + = −  −+ − = 

( )( ) x y 1 x 2y 0

x 1 2y 3 3

+ − + =  ⇔ −+ − = 

( ) x y 0 loai

1 x 2y 0

x 1 2y 3 3

 + =  − + = ⇔  −+ − = 

( )

2y x 1

x 1 x 4 3 *

= −  ⇔ −+ − = 

PT ( ) * 2 x 4

2x 5 2 x 5x 4 9

≥  ⇔ −+ − + = 

( )

2 2 2 4 x 7 x 4

x 5x 4 7 x x 5x 4 7 x

≤ ≤ ≥    ⇔ ⇔   − + = − − + = −     ( ) 4 x 7 x 5 TM x 5

≤ ≤  ⇔ ⇔ =  = 

Với x 5 y 2 = ⇒ = . KL

0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 Câu III (2 ñiểm )

Phương trình: 4 5 log ( 3) log ( 6) 4 − + + = n n có nghiệm duy nhất n = 19. (Vì VT là hàm số ñồng biến nên ñồ thị cắt ñường thẳng y = 4 tại một ñiểm duy nhất).

n 19 2 k 19 k k 38 3k 19 k 0

3 2x C 2 3 x x

− −

=   + =     ∑

Từ gt suy ra 38 3k 8 k 10 − = ⇔ = KL: 10 9 10 19 C 2 3

1.0 0.5 0.25 0.25

DeThi.edu.vn