Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 12 (Có đáp án)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 1

Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn toán lớp 12

(Thời gian làm bài 180 phút)

Bài 1: (4 điểm) 1) (Đề 48 I2 trong 150 đề tuyển sinh Đại học)

Tìm trên đồ thị hàm số y = hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x -

1

2) (Tự sáng tác)

Cho a, b, c  R với a  0 và m N* thoả mãn:

.

Chứng minh rằng: Đồ thị hàm số: y = ax4 + bx2 + c luôn cắt trục ox tại ít nhất một điểm thuộc khoảng (0;1).

Bài 2: (5 điểm) 1) (Tự sáng tác)

Tìm tổng tất cả các nghiệm x  [1;100] của phương trình:

Sin4x + Sin4 ( x + ) + Sin4 (x +

2) ( Toán học tuổi trẻ năm 2003) Cho tam giác ABC không có góc tù thoả mãn hệ thức:

Hãy tính các góc của tam giác đó. Bài 3: (4 điểm) 1) (Toán Bồi dưỡng giải tích tổ hợp của Hàn Liên Hải - Phan Huy Khải)

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =

2) (Tự sáng tác)

Giải phương trình: 3x2 + 1 + log2006

Bài 4: (4 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy 1) ( Đề thi tuyển sinh vào §HXD - Hà Nội năm học 2000-2001)

Cho điểm A(4;0) và đường thẳng : 4x - 9 = 0. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M có

tỷ số khoảng cách từ đó đến điểm A và từ đó đến đường thẳng  bằng là một Hypebol.

Hãy viết phương trình của Hypebol đó.

2) ( Chuyên đề về hình học giải tích của Cam Duy Lễ - Trần Khắc Bảo)

1

2

 x

x

0 2 4      m

c m

b m

a

4  x Sin x 4 2 3 ) 4 3 ( sin ) 2

4 4     

6 5 cos cos ) 2 cos 2 (cos 2 1 ) 3 cos 3 (cos 3 1       B A B A B A

2 3 2 4

5

 x x

x

6 2 6

2

1 2 4 x x x

x   



3 4

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 2

Cho Parabol y2 = 2px (p > 0) và đường thẳng d di động nhưng luôn đi qua tiêu điểm F của Parabol. Gọi M, N là các giao điểm của parabol với đường thẳng d. Chứng minh rằng đường tròn đường kính MN luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.

Bài 5: (3 điểm) (500 Bài toán về bất đẳng thứccủa Phan Huy Khải -Tập II) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Gọi V1, V thứ tự là thể tích của khối

chóp SAMKN và khối chóp SABCD. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của tỷ số . V V1

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 3

đáp án - thang điểm

kỳ thi chọn lọc học sinh giỏi tỉnh - môn toán LớP12

Nội dung Điểm Bài 1: (4 điểm) 1) (2 điểm) Hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x -1 nên đường thẳng AB có pt: y = -x + m

=>Hoành độ các điểm A, B là xA, xB chính là nghiệm pt: =-x +m

 g(x) = 2x2 - (m + 1)x + m = 0

0,5 điểm

Gọi I là trung điểm của AB ta có xI =

Ta phải có điểm I thuộc đường thẳng y =x -1 =>

 m = -1

0,5 điểm

Khi đó g(x) = 2x2 - 1= 0  x =

0,5 điểm

Với xA = - 2

2 => yA = -xA-1 = -1+ ; Với xB = => yB = -1- 2

2

Vậy hai điểm cần tìm là A(- ; -1+ ) và B ( ; -1- )

0,5 điểm

2) (2 điểm)

Xét hàm số f(x) = m cx m bx m ax m m m

   

 

2 4

2 4

với a  0 và m N*

Là hàm số liên tục và có đạo hàm là: f’(x) = axm+3 + bxm+1 + cxm-1 với xR 0,5 điểm

Ta tính được f(0) = 0 và f(1) = (do giả thiết)

Theo định lý Lagrăng: tồn tại x0 (0;1) sao cho f’(x0) =

0,5 điểm

=> ax = 0

=> x => ax40 + bx20 + c = 0 0,5 điểm

Tức là pt: ax4 + bx2 + c = 0 có nghiệm x0 (0;1) Hay đồ thị hàm số: y = ax4 + bx2 + c luôn cắt ox tại ít nhất 1 điểm thuộc (0;1)

0,5 điểm

Bài 2: (5 điểm)

1) (3 điểm)

Trước hết biến đổi vÕ trái của pt: Sử dụng công thức Sin ( + ) = cos

Ta được: VT = Sin4x + cos4x + Sin4 (x+ ) + Cos4 (x+ )

m x

x



2

4

1 3 4

1 2

         m m x y m x x

I I B A

1 4

1 4

1 3     m m

2

2 

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0 2 4      m

c m

b m

a

0 0 1

) 0 ( )1(   f f

1 0 1 0 3 0

     x m m c b

0 ) ( 2 0 4 0 1 0     c b ax m

2 

4 

4 

DeThi.edu.vn