Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 (Chuyên) - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Đồng Nai

Bài 1. (5 điểm)

1) Chứng minh rằng phương trình có đúng ba nghiệm thực phân biệt . Tính giá trị của biểu thức

.

2) Cho hai hàm số có đồ thị lần lượt là

với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để và cắt tại ba điểm

phân biệt có tung độ là thỏa mãn

.

Bài 2. (3 điểm) Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng

Bài 3. (4 điểm) Cho dãy số xác định bởi và .

1) Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên.

2) Tính .

Bài 4. (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H, K là trung điểm BC và G là hình chiếu vuông góc của H trên AK. Lấy D đối xứng G qua BC và

I đối xứng C qua D. Tia phân giác cắt AB tại F và tia phân giác cắt BD ở M, MF cắt AC tại E.

1) Chứng minh rằng D nằm trên đường tròn (O).

2) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC ở X, XE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác EBM ở điểm thứ hai là Y. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác EYD tiếp xúc đường tròn (O).

Bài 5. (4 điểm) Cho m, n là các số tự nhiên thỏa mãn . Chứng minh rằng là lập phương của một số nguyên.

-------HẾT-------

Họ & tên thí sinh: …………………………………….. Số báo danh: ……………...

Chú ý. Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay!

2 3 6 3 x x x   

1 2 3 , , x x x

    3 2 3 2 3 2 1 1 2 2 3 3 9 9 9 T x x x x x x       

3 2 3 2 3 1, 2 2 2 y x x x y x x mx           1 , C

  2 C   1 C   2 C

1 2 3 , , y y y

1 2 3

1 1 1 2 4 4 4 3 y y y      

a b c abc   

2 2 2 a b c abc   

  nx 1 2 1 x x    

1 2 2 1 . 3. 1

n n n n x x x

     

  nx

1

1 2 lim ...

n

n

x x x x

   

·ACB ·BID

3 3 4 12 m m n n    m n 

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC: 2018 – 2019 Môn: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm có một trang, có năm bài)

DeThi.edu.vn