Đề chính thức thi Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Ninh Bình

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NINH BÌNH THI VMO NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN V1 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút

Ngày thi 16/09/2021 Thời gian làm bài :180 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776

Bài 1.(5đ). Cho dãy số( ) nx xác định bởi 

      

2

1 1

15 , 1 3, , * 2( 1)

n n

n

x x a a x n x

.

Chứng minh dãy số  ( ) ; nx f có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Bài 2.(5đ). Tìm tất cả hàm số  ( ) ; nx f thỏa      (2 ( ) ( )) f x f y xf y x y xy   ,x y

Bài 3.(5đ). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và trung tuyến AM của tam giác ABC cắt (O) tại D khác A. Gọi E,F,G,H lần lượt là trung điểm của cạnh AB,BD,CD,CA.Gọi S,T lần lượt là chân phân giác trong góc M của các tam giác EMG, FMH.Các đường thẳng AB và CD cắt nhau X và AC,DB cắt nhau tại Y

a.Chứng minh MS vuông góc MT.

b.Các đường thẳng MS ,FH cắt nhau U,MT và EG cắt nhau tại V.Chứng minh UV song song XY

Bài 4.(5đ). a.Tìm số nguyên dương tìm số cặp (x,y) nguyên dương sao cho   xy d x y

b.Với mỗi số nguyên dương n>1 gọi f(n) là số cặp (x,y) nguyên dương sao cho  xy x y là

ước nguyên dương của n.tìm tất cả các giá trị n để f(n)=231.

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NINH BÌNH THI VMO NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN V2 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút

Ngày thi 17/09/2021 Thời gian làm bài :180 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776

Bài 5.(6đ). Cho dãy đa thức ( ( )) n P x xác định bởi

           2 2 1 2 2 1 ( ) 3 , ( ) 5 2 2, ( ) 3 ( ) (2 1) ( ), * n n n P x x P x x x P x xP x x x P x n và tìm tất

cả n sao cho đa thức ( ) nP x chia hết cho đa thức    3 2 ( ) Q x x x x

DeThi.edu.vn

Bài 6.(7đ). Cho tam giác ABC nhọn AB<AC có trực tâm H và đường cao AD.Gọi K là giao điểm của AD và đường tròn đường kính BC.Trên các đoạn CH,BH lần lượt lấy các điểm R,S sao cho BK=BR và CK=CS.Gọi X là giao điểm BR và CS.

a.Chứng minh AX vuông góc RS và đường thẳng SR đi qua tâm vị tự ngoài của 2 đường tròn tâm B bán kính BK và tâm C bán kính CK.

b.Gọi T là giao điểm của HX và BC.Chứng minh bốn điểm S,D,T,R cùng nằm trên 1 đường tròn

Bài 7.(7đ). Cho số nguyên dương 3 n .Gọi S={1,2,3,...,n} và iA với  1 i m là tập con

khác nhau và gồm ít nhất hai phần tử của S sao cho nếu

      , , i j j k k i A A A A A A với i,j,k đôi một phân biệt   1 , , i j k mthì

   i j k A A A

a.Khi m=5 hãy chỉ ra có thể xây dựng m=15 tập hợp 1 2 15 , ,.., A A A thỏa mãn yêu cầu

b.Tìm giá trị lớn nhất của m

DeThi.edu.vn

Em giải câu hàm số ạ. Cho x = 0: f(f(y)) = y, nên f song ánh. Trong đề thay x bởi y, thay y bởi x, kết hợp f đơn ánh được: 2x + (x+1)f(y) = 2y + (y+1)f(x) (1) Cho x = 0 vào (1) được f(y) = (2 + f(0))y + f(0), với mọi y thuộc R. Nên f(x) = ax + b với mọi x. Thay vào giả thiết được f(x) = -x - 3 với mọi x. Bài hàm ạ. Từ đề cho x=0 ta được f(f(y))=y hay f là một song ánh. Từ đề, thay đổi vai trò x,y ta được 2x+f(y)+xf(y)=2y+f(x)+yf(x) cho x=0 ta được f(x)=ax+b thay vào giải hệ tìm a,b thì không có hàm số nào thỏa mãn đề bài.

DeThi.edu.vn