Đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán ngày 1 - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Ninh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HSG QUỐC GIA QUẢNG NINH

NĂM HỌC 2022 - 2023 Đề chính thức Môn: TOÁN NGÀY 1( CHUYÊN) (15/09/2022) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871. Bài 1 (5,0 điểm). Cho a,b,c là số thực dƣơng thỏa abc=1.Tìm min của

3 3 3

2 2 2 1 1 1 a b c P b c a      

Bài 2 (5,0 điểm). Xét hàm :(0; ) (0; ) f   thỏa (3 ( ) 3 ) (3 ) 2 , , 0 f f x y f x y y x y       a.Chứng minh ( ) , 0 f x x x   , ( ) f x đồng biến b.Tìm tất cả hàm thỏa đề bài Bài 3 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp (O) cố định, BC cố định và điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn, không cân. Lấy điểm X trên đƣờng thẳng AC và điểm Y trên đƣờng thẳng AB sao cho BX, CY vuông góc BC, đƣờng tròn (AXY) cắt (O) tại L khác A. a) Gọi AD là đƣờng kính của (O). Chứng minh rằng đƣờng thẳng DL luôn đi qua điểm cố định khi A thay đổi. b) Gọi P, Q lần lƣợt là giao điểm thứ hai của BX, CY với đƣờng tròn(AXY). Chứng minh rằng giao điểm của PQ và tiếp tuyến tại A của đƣờng tròn (AXY) luôn nằm trên một đƣờng cố định. c) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại A của đƣờng tròn (AXY), tiếp tuyến tại L của (O) và đƣờng thẳng BC đồng quy. Bài 3 (5,0 điểm). Số nguyên N gọi là tốt nếu tồn tại các số nguyên x,y sao cho

2 2 3 N x y  

a.Chứng minh với số N tốt , nếu N chẵn thì 4

N là tốt

b.Chứng minh với số N tốt ,nếu N chia hết cho 37 thì 37

N là tốt

DeThi.edu.vn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HSG QUỐC GIA Vũng tàu

NĂM HỌC 2022 - 2023 Đề chính thức Môn: TOÁN NGÀY 1( CHUYÊN) (15/09/2022) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871.

Bài 1 (3,0 điểm).Giải hệ

2 2

2 3

1 ( , ) 2 11 32 3 4 8

x y x y y x x y x y y

             

Bài 2 (2,0 điểm). Cho dãy số ( ) n u xác định bởi:

1

3

1 2

2023

2022 2022 * 2022 2022

n n n

n n

u

u u u n u u 

          

.

Tìm

2

2 1

1 lim 2 1 1

n

i

n i i

u n u      .

Bài 3 (5,0 điểm). Cho đƣờng tròn (O) và hai điểm A, B cố định nằm trên đƣờng tròn (O) sao cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Xét một điểm C trên đƣờng tròn (O) sao cho tam giác ABC không cân tại C. Gọi ( 1 O ) là đƣờng tròn đi qua A và tiếp xúc với BC tại C; ( 2 O ) là đƣờng tròn đi qua B và tiếp xúc với AC tại C. Hai đƣờng tròn ( 1 O ) và ( 2 O ) cắt nhau tại điểm thứ hai là D (D khác C). a) Tiếp tuyến của đƣờng tròn (O) tại C cắt đƣờng thẳng OD tại S. Chứng minh OA là tiếp tuyến của đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ADS. b) Chứng minh đƣờng thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định khi điểm C di động trên đƣờng tròn (O) (tam giác ABC không cân tại C). Bài 4 (2,0 điểm). a.Cho k là số nguyên dƣơng lớn hơn 1.Chứng minh 1 2 1 kkhông chia hết cho k. b.Tìm tất cả các cặp số nguyên tố p và q thỏa mãn 2 2 p q  chia hết cho p.q.

Bài 5 (3,0 điểm). Tìm tất cả các hàm : f  thỏa ( ) ( ) y xf y yf x f x         với

, , 0 x y x    Bài 6 (2,0 điểm). Cho tập hợp X có 2023 phần tử. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn hai tập hợp con khác nhau của X sao cho giao của hai tập hợp này là một tập hợp có đúng một phần tử?

DeThi.edu.vn