Bài tập Đại số và Giải tích Lớp 11 Biểu thức tổ hợp Nhị thức Newton - Vũ Tuấn Anh

BIỂU THỨC TỔ HỢP – NHỊ THỨC NEWTON

Bài 1: (ĐHSP TPHCM 1999)

Tìm số tự nhiên k thoả mãn hệ thức:     k k 2 k 1 14 14 14 C C 2C Bài giải

(0 ≤ k ≤ 12, k  N)





 (k + 1)(k + 2) + (14 – k)(13 – k) = 2(k + 2)(14 – k)  k2 – 12k + 32 = 0  k = 4 hoặc k = 8 Vậy: k = 4 hoặc k = 8 Bài 2.(ĐHDL Kỹ thuật công nghệ khối D 1999)

Tính tổng:     6 7 8 9 10 10 10 10 10 10 C C C C C trong đó k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử.

Bài giải

S =

= = = 386.

Bài 3.(ĐH Ngoại ngữ HN chuyên ban 1999)

Tìm các số nguyên dương x thoả:     1 2 3 2 x x x C 6C 6C 9x 14x

Bài giải (x  N, x ≥ 3)  x + 3x2 – 3x + x3 – 3x2 + 2x = 9x2 – 14x

 x(x2 – 9x + 14) = 0  Vậy: x = 7

Bài 4.(ĐH Bách khoa HN 1999)

Tính tổng: S =       1 2 3 4 n 1 n n n n n n C 2C 3C 4C ... ( 1) .nC

    k k 2 k 1 14 14 14 C C 2C

       14! 14! 14! 2 k!(14 k)! (k 2)!(12 k)! (k 1)!(13 k)!

        1 1 1 2 (14 k)(13 k) (k 1)(k 2) (k 1)(13 k)

    6 7 8 9 10 10 10 10 10 10 C C C C C

       0 1 9 10 10 10 10 10 10 10 1 1 C C ... C C C 2 2  10 5 10 1 1 .2 C 2 2

    1 2 3 2 x x x C 6C 6C 9x 14x

       

x 0 (loaïi) x 2 (loaïi) x 7 (nhaän)

DeThi.edu.vn

2

trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 2.

Bài giải

S = (n > 2) Xét đa thức p(x) = (1 – x)n. Khai triển theo công thức Newton ta được:

p(x) = (1 – x)n =

Suy ra: – p(x) = n(1 – x)n–1 =

Cho x = 1 ta được: 0 =

= = S Vậy: S = 0 Bài 5.(ĐHQG HN khối A 2000)

Chứng minh rằng:     k k 1 1000 1001 2001 2001 2001 2001 C C C C (trong đó k nguyên, 0 ≤ k ≤ 2000)

Bài giải Ta sẽ chứng tỏ:

Thật vậy, chỉ cần chứng tỏ: (1) với k = 0, 1, 2, …, 999.

Ta có: (1) 

 (k + 1) < 2001 – k  2k < 2000  k < 1000 đúng vì k = 0, 1, 2, …, 999.

Vì vậy: ,k = 0, 1, …, 2000 (đẳng thức  )

và: , k = 0, 1, …, 2000 (đẳng thức  )

 (đẳng thức  k = 1000) Bài 6.(ĐHQG HN khối B 2000)

      1 2 3 4 n 1 n n n n n n C 2C 3C 4C ... ( 1) .nC



 

n

k k k n k 0

( 1) C .x

 



 

n

k 1 k k 1 n k 1

( 1) .kC .x





 

n

k 1 k n k 1

( 1) .kC

      1 2 3 4 n 1 n n n n n n C 2C 3C 4C ... ( 1) .nC

        0 2001 1 2000 2 1999 1000 1001 2001 2001 2001 2001 2001 2001 2001 2001 C C C C C C ... C C

  k k 1 2001 2001 C C

    2001! 2001! k!(2001 k)! (k 1)!(2000 k)!

 k 1000 2001 2001 C C     

k 1000 k 1001

  k 1 1001 2001 2001 C C     

k 999

k 1000

    k k 1 1000 1001 2001 2001 2001 2001 C C C C

DeThi.edu.vn

3

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức sau:

        

17 4 3 3 2 1 x x

, x ≠ 0

Bài giải

Số hạng tổng quát của khai triển là:

(k  N, 0 ≤ k ≤ 17)

Để số hạng không chứa x thì  k = 8

Vậy số hạng cần tìm là số hạng thứ 9 của khai triển và bằng . Bài 7.(ĐH Bách khoa HN khối AD 2000)

Giải bất phương trình:    2 2 3 2x x x 1 6 A A .C 10 2 x

Bài giải

Điều kiện:

Ta có:

 .2x(2x – 1) – x(x – 1) ≤

 x2 ≤ x2 – 3x + 12  x ≤ 4 Kết hợp điều kiện, ta được: x = 3, x = 4. Bài 8.(ĐHSP HN khối A 2000)

Trong khai triển nhị thức

         

n 28 3 15 x x x , hãy tìm số hạng

không phụ thuộc vào x, biết rằng      n n 1 n 2 n n n C C C 79

     

  



17 34 17 k k k 2 3 3 12 3 k k 3 4 4 17 17 C x x C x

  17 34 k 0 12 3

8 17 C

                

x N 2 2x x N 2 x x 3 3 x

   2 2 3 2x x x 1 6 A A .C 10 2 x 1 2

   6 x(x 1)(x 2) . 10 x 1.2.3

DeThi.edu.vn