Bài tập Toán Lớp 11 - Chuyên đề 5 Đại số tổ hợp, xác suất - Vũ Tuấn Anh

80

CHUYÊN ĐỀ 5: ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT

1. Kiến thức cơ bản 1.1. Đại số tổ hợp 1.1.1. Quy tắc cộng: Có n1 cách chọn đối tượng A1. n2 cách chọn đối tượng A2. A1  A2 = 

 Có n1 + n2 cách chọn một trong các đối tượng A1, A2. 1.1.2. Quy tắc nhân:

Có n1 cách chọn đối tượng A1. Ứng với mỗi cách chọn A1, có n2 cách chọn đối tượng A2.  Có n1.n2 cách chọn dãy đối tượng A1, A2. 1.1.3. Hoán vị:

 Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán vị của n phần tử.  Số hoán vị: Pn = n!. 1.1.4. Chỉnh hợp:

 Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k  n) và sắp thứ tự của chúng gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.

 Số các chỉnh hợp:

1.1.5. Tổ hợp:

 Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0  k  n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

 Số các tổ hợp:

 Hai tính chất: ,

1.1.6. Nhị thức Newton

 Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1):

 Đặc biệt:

1.2. Xác suất

1.2.1. Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển:

+ 0 P(A) 1 + ,

1.2.2. Tính xác suất theo các quy tắc: a) Quy tắc cộng xác suất

 

! ( )!

k n

n A n k  

! !( )!

k n

n C k n k  

k n k n n C C   1 1 1 k k k n n n C C C     

0 1 1

0 ( ) ...

n n k n k k n n n n n n n n k a b C a b C a C a b C b  

       

1

k n k k k n T C a b  

0 1 2 2 (1 ) ... n n n n n n n x C xC x C x C      



A P A 



 1 P    0 P 

DeThi.edu.vn

81

Nếu A và B là hai biến cố xung khắc, thì:

c) Quy tắc nhân xác suất

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì:

2. Các dạng toán

2.1. Bài toán đếm:

Ví dụ 1. Cho tập , từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số

khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3. Lời giải

Gọi số cần tìm là

Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 không xét đến vị trí a. Xếp 0 và 3 vào 5 vị trí có: cách

3 vị trí còn lại có cách

Suy ra có số

Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 với a = 0. Xếp 3 có 4 cách 3 vị trí còn lại có cách

Suy ra có số

Vậy số các số cần tìm tmycbt là: = 384

Ví dụ 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ. Lời giải

Từ giả thiết bài toán ta thấy có cách chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số có chữ số 0

đứng đầu) và =10 cách chọn 2 chữ số lẽ => có . = 100 bộ 5 số được chọn.

Mỗi bộ 5 số như thế có 5! số được thành lập => có tất cả . .5! = 12000 số.

Mặt khác số các số được lập như trên mà có chữ số 0 đứng đầu là .

Vậy có tất cả 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán. Ví dụ 3. Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh. Lời giải

Tổng số cách chọn 6 học sinh trong 12 học sinh là

Số học sinh được chọn phải thuộc ít nhất 2 khối Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 11 là:

    P A B P A P B   

   P AB P A P B 

  0;1;2;3;4;5 A 

  0 abcde a 

2 5 A

3 4 A

2 3 5 4 A A

3 4 A

3 4 4.A

2 3 3 5 4 4 4. A A A 

2 5 10 C 

3 5 C 2 5 C 3 5 C

2 5 C 3 5 C

1 3 4 5 . .4! 960 C C 

6 12 C

6 7 C

DeThi.edu.vn