Bài tập Tự luận Toán 11 - Hai đường thẳng chéo nhau, song song (Có lời giải)

HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

A. CHUẨN KIẾN THỨC

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.

Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Có các trường hợp sau đây xảy ra đối với a và b :

Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả a và b , khi đó theo kết quả tronh hình học phẳng ta có

ba khả năng sau:

- a và b cắt nhau tại điểm M , ta kí hiệu a b M   . - a và b song song với nhau, ta kí hiệu a b P . - a và b trùng nhau, ta kí hiệu a b  . Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b , khi đó ta nói a và b là hai đường thẳng

chéo nhau.

2. Các định lí và tính chất.

• Trong không gian, qua một điểm cho trước không nằm trên đường thẳng a có một và chỉ một đường thẳng song song với a . • Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc đồng qui hoặc đôi một song song. • Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. • Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song.

b

c

a

γ

β

α

A

a

b Δ

β α

b

c

a

γ

β

α

DeThi.edu.vn

B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Bài toán 01: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT BẰNG QUAN HỆ SONG SONG PHƯƠNG PHÁP GIẢI. Phương pháp:

Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng  α và  β có điểm chung M và lần lượt chứa hai đường

thẳng song song d và d' thì giao tuyến của  α và  β là đường thẳng đi qua M song song với d

và d' .

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng   SAB và   SCD

Lời giải.

Ta có

   

   

AB SAB

CD SCD

AB CD

S SAB SCD

  

     

P

    SAB SCD d AB CD,S d     P P .

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD . Gọi

I,J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB .

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng   SAB và   IJG .

b) Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của   IJG và hình chóp là một hình bình hành.

Lời giải.

a) Ta có ABCD là hình thang và I,J là trung điểm của AD,BC nên IJ / /AB .

d

B

D C

A

S

DeThi.edu.vn

Vậy

       

G SAB IJG

AB SAB

IJ IJG

AB IJ

   

     P

    SAB IJG MN IJ AB    P P với

M SA,N SB   .

b) Dễ thấy thiết diện là tứ giác MNJI .

Do G là trọng tâm tam giác SAB và MN AB P nên

MN SG 2 AB SE 3  

( E là trung điểm của AB ).

2 MN AB 3   .

Lại có   1 IJ AB CD 2   . Vì MN IJ P nên MNIJ là hình thang, do đó MNIJ là hình bình hành khi

MN IJ 

  2 1 AB AB CD AB 3CD 3 2      .

Vậy thết diện là hình bình hành khi AB 3CD  .

Bài toán 01: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG. Phương pháp:

Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể làm theo một trong các cách sau:

- Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng rồi dùng các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong mặt phẳng. - Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song vơi đường thẳng thứ ba. - Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. - Sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy lớn AB . Gọi M,N lần

lượt là trung điểm của SA và SB .

a) Chứng minh MN song song với CD .

N M

E

J I

D C

A

S

B

G

DeThi.edu.vn