Bài tập trắc nghiệm Toán học 11 - Đạo hàm, phương trình tiếp tuyến (Có đáp án)

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐẠO HÀM

KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

A. LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm.

Cho hàm số  y f x  xác định trên   ;a b và   0 ; x a b  . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

  

0

0

0 lim x x

f x f x x x 

  thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số  y f x  tại điểm 0x .

Kí hiệu:   0 f x  hoặc   0 y x  . Vậy     

0

0 0

0 lim x x

f x f x f x x x 

    .

STUDY TIP

Nếu 0 x x x   và        0 0 0 y f x f x f x x f x      thì   0 0 lim

x

y f x x 

   .

✓ x  gọi là số gia của đối số tại điểm 0x . ✓ y gọi là số gia của hàm số tương ứng. 2. Đạo hàm bên trái, bên phải.

a) Đạo hàm bên trái.

    

0

0 0 0 0 lim lim x x x f x f x y f x x x x   

         trong đó 0 x x  được hiểu là 0 x x  và 0 x x  .

b) Đạo hàm bên phải.

    

0

0 0 0 0 lim lim x x x f x f x y f x x x x   

         trong đó 0 x x  được hiểu là 0 x x  và 0 x x  .

Nhận xét: Hàm số  f x có đạo hàm tại điểm 0x   0 f x   và   0 f x  tồn tại và bằng nhau. Khi đó

      0 0 0 f x f x f x        .

3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn.

a) Hàm số  y f x  được gọi là có đạo hàm trên khoảng   ;a b nếu có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng

đó.

b) Hàm số  y f x  được gọi là có đạo hàm trên đoạn   ;a b nếu có đạo hàm trên khoảng   ;a b và có

đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b .

4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liện tục của hàm số.

- Nếu hàm số  y f x  có đạo hàm tại điểm 0x thì nó liên tục tại điểm đó.

STUDY TIP

✓ Hàm số liên tục tại điểm 0x có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

✓ Hàm số không liên tục tại 0x thì không có đạo hàm tại điểm đó. B. CÁC DẠNG TOÁN TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA

DeThi.edu.vn

Phương pháp:

1. Tính đạo hàm của hàm số  y f x  tại điểm 0x bằng định nghĩa.

Cách 1:

- Tính   

0

0

0 lim x x

f x f x x x 

  (1).

- Nếu tồn tại giới hạn (1) thì hàm số có đạo hàm tại 0x và ngược lại thì hàm số không có đạo

hàm tại 0x . Cách 2: Tính theo số gia.

- Cho 0x một số gia x  :     0 0 0 x x x y f x x f x      .

- Lập tỉ số y x  .

- Tính giới hạn

0 lim

x

y x 

 .

2. Mối quan hệ giữa tính liên tục vào đạo hàm.

- Hàm số  y f x  liên tục tại điểm 0x   

0

0 0 lim lim 0 x x x f x f x       .

- Hàm số  y f x  có đạo hàm tại điểm 0x   y f x  liên tục tại điểm 0x .

- Hàm số  y f x  liên tục tại điểm 0x chưa chắc có đạo hàm tại điểm 0x .

Ví dụ 1. Cho hàm số  1 f x x  . Tính đạo hàm của hàm số tại điểm 0 1 x .

A. 2 4 . B. 2 2 . C. 2 2 . D. 2 3 .

Lời giải

Đáp án A.

Cách 1: Xét  

1 1 1 1 2 lim lim 1 1 x x f x f x x x       

   1

1 lim

1 1 2 x

x

x x 

 

  1

1 1 lim

1 2 2 2 x x    

2 4  .

Cách 2:

   1 1 2 2 y f x f x       .

2 2 y x x x       .

  0 0 0 0 2 2 1 2 lim lim lim lim 4 2 2 2 2 x x x x y x x x x x x x                 

.

STUDY TIP

Nhân lượng liên hợp: a b a b

a b   



và

2 a b a b

a b   



.

Giải theo cách 1 tỏ ra đơn giản và nhanh hơn cách 2.

DeThi.edu.vn